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Prueba por inducción: Pasos y ejemplos

Publicado el 23 septiembre, 2020

Inducción matemática

¿Alguna vez has conocido a alguien a quien no le gusten las golosinas de Rice Krispies? ¡No lo he hecho, y estaría dispuesto a apostar que a todos les gustan! Supongamos que quisiéramos demostrar que a todo el mundo le gustan las golosinas Rice Krispies. Podríamos empezar diciendo que me gustan, que a mi mamá le gustan, que a mi amigo le gustan, etc. Sin embargo, a menos que le preguntemos a todas las personas del mundo si les gustaron estas golosinas (una hazaña bastante imposible ya que cada segundo nace alguien nuevo), en realidad no se probaría. Demostrar que es cierto para una población selecta aumenta la probabilidad de que les gusten a todos, pero no prueba realmente que le gusten a todo el mundo.

Son problemas similares a estos los que podemos probar usando un método llamado inducción matemática . La inducción matemática es una forma de prueba que se usa para probar una propiedad sobre todos los elementos de un conjunto infinito. Cuando estamos tratando con un problema que involucra un conjunto infinito, sería imposible probar que algo es cierto sobre ese conjunto simplemente probándolo para casos individuales. Por tanto, utilizamos la inducción matemática.

Cuándo usar la inducción matemática

Como se mencionó, usamos la inducción matemática cuando queremos probar una propiedad para un número infinito de elementos. Este es el principal indicador de que la inducción matemática es un buen método a utilizar. Hay algunas preguntas involucradas en la inducción matemática.

1.) ¿Queremos probar algo para un conjunto de elementos que es infinito?

2.) ¿Sería fácil probar la propiedad del primer elemento del conjunto?

3.) Si asumiéramos que la propiedad era verdadera para los primeros k elementos, ¿podemos usar eso para demostrar que también es cierta para el elemento ( k + 1)?

inducción 2

Si las respuestas a estas preguntas son sí, entonces la inducción matemática es definitivamente el camino a seguir, y la buena noticia es que al responder estas preguntas, ¡básicamente ya ha realizado la prueba! Por ejemplo, suponga que quisiéramos demostrar que la suma de los primeros n enteros positivos es igual a ( n ( n + 1)) / 2.

La suma de los primeros n números enteros positivos viene dada por la fórmula

Fórmula de suma de enteros

El conjunto de enteros positivos es un conjunto infinito, por lo que la respuesta a la pregunta 1 es sí. Podríamos sumar fácilmente el primero, dos o tres enteros y asegurarnos de que la fórmula sea válida, por lo que la respuesta a la pregunta 2 es sí. Por último, si asumimos que la propiedad es verdadera para los primeros k casos, ¿podemos usar eso para demostrar que es verdadera para el ( k + 1) caso? Si la respuesta a esto también es sí, entonces eso significa que nuestra fórmula es verdadera para todos los miembros de nuestro conjunto infinito. ¿Por qué es esto? Bueno, si sabemos que la fórmula es verdadera para 3, entonces debe ser verdadera para 3 + 1 = 4. Y si es verdadera para 4, entonces debe ser verdadera para 4 + 1 = 5. Y así hasta el infinito. . Este es el paso clave en la inducción matemática y será más fácil de ver cuando analicemos el siguiente ejemplo.

Pasos en la inducción matemática

La inducción matemática se basa en el hecho de que si algo es cierto para los primeros k términos, y mostramos que es cierto para el ( k + 1) término, entonces es cierto para todos los términos en un conjunto infinito. Este hecho nos lleva a los pasos involucrados en la inducción matemática.

1.) Muestre que la propiedad es verdadera para el primer elemento del conjunto. A esto se le llama el caso base .

2.) Suponga que la propiedad es verdadera para los primeros k términos y use esto para demostrar que es verdadera para el ( k + 1) término. A esto se le llama paso de inducción .

¿Ve ahora cómo responder a las preguntas mencionadas anteriormente realmente hace la mayor parte del trabajo por usted? Ilustremos esto probando nuestro ejemplo. Es decir, usemos la inducción para demostrar que la suma de los primeros n enteros positivos es igual a ( n ( n + 1)) / 2.

El primer paso es probar el caso base, por lo que mostraremos que nuestra propiedad es verdadera para n = 1, n = 2 y n = 3, aunque solo es necesario demostrarlo para n = 1.

Caso base de inducción

Hemos demostrado que nuestro caso base es cierto.

El segundo paso es asumir que la propiedad es verdadera para los primeros k enteros positivos y demostrar que es verdadera para el entero ( k + 1). Es decir, asumiremos que la suma de los primeros k enteros positivos es igual a ( k ( k + 1)) / 2, y usaremos esto para demostrar que la suma de los primeros k + 1 enteros positivos es igual a (( k + 1) (( k + 1) + 1)) / 2 o (( k + 1) ( k + 2)) / 2.

Prueba por ejemplo de inducción

Comenzamos con nuestra suposición y la manipulamos agregando k +1 a ambos lados. Esto nos da el lado izquierdo de lo que queremos mostrar. Simplificando el lado derecho, hemos demostrado que si la propiedad es verdadera para k , entonces la propiedad es verdadera para k + 1. Por lo tanto, por inducción matemática, la suma de los primeros n enteros positivos es igual a ( n ( n + 1)) / 2.

Resumen de la lección

La inducción matemática es un método de prueba que se utiliza cuando queremos probar una propiedad para todos los elementos de un conjunto infinito. Para realizar la inducción matemática, primero mostramos que la propiedad es verdadera para el primer elemento del conjunto. A esto se le llama el caso base . A continuación, asumimos que la propiedad es verdadera para los primeros k elementos y luego mostramos que es verdadera para el elemento ( k + 1) st. A esto se le llama paso de inducción . Cuanto más practiques la inducción matemática, más fácil te resultará. Este método de prueba es extremadamente útil y se usa con bastante frecuencia en matemáticas y lógica.

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