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Pruebas de triángulos

Publicado el 22 noviembre, 2020

Tres es un número mágico

Pasado, presente y futuro. Fe, esperanza y caridad. No se puede negar que tres es un número mágico. En el mundo matemático, el número tres nos lleva a pensar en el triángulo. Sí, cada triángulo tiene tres lados, pero más básico que eso, tienen tres puntos o vértices . Pueden existir tres líneas y no formar un triángulo (piense en paralelo) pero es imposible tener tres puntos que no lo hagan. Entonces, en honor a los tres mágicos, esta lección trata de probar algunos hechos sobre su compañero mágico: el triángulo.

Teoremas y demostraciones

Un teorema es un enunciado matemático que demostramos ser verdadero. Los teoremas no son hechos obvios, como los triángulos tienen tres lados. Definiciones simples como esa no requieren prueba, simplemente lo son. Un teorema es un hecho que no sabríamos inmediatamente si es cierto o por qué. En cambio, tenemos que demostrar, o probar , que es cierto usando algo de lógica. Considere el hecho de que todos los ángulos interiores de un triángulo suman 180 o . Este es un hecho que muchos estudiantes aprenden desde el principio, pero ¿de dónde vino? ¿Por qué es verdad? ¡Vamos a demostrarlo!

Teorema de la suma del triángulo

Toma cualquier triángulo antiguo y rotula sus ángulos 1, 2 y 3.

Triángulo123

No podemos asumir nada sobre ellos, especialmente lo que estamos tratando de demostrar. Esto significa que no podemos simplemente asignarles valores numéricos porque eso es demasiado específico y las pruebas deben generalizarse para que funcionen en todos los casos. Ahí es donde puede ayudar reducir el problema a algo más simple. Una cosa más simple que un triángulo es una línea. Toma nuestro triángulo y dibuja una línea paralela a un lado y a través del vértice opuesto así:

Triángulo12345

Esto crea dos ángulos más que llamaremos 4 y 5. Los ángulos 2, 4 y 5 encajan todos juntos en esa nueva línea y puede recordar que las líneas o los ángulos rectos también son 180 o . Así que tenemos tres ángulos que suman 180 o , pero no los tres que queremos. La clave para que esto funcione es que la línea que creamos es paralela a ese lado. Cuando dos líneas paralelas se intersecan con una tercera línea (nuestros otros dos lados del triángulo), se crean ángulos congruentes conocidos como ángulos alternos internos.. Los ángulos alternos internos se encuentran entre un conjunto de líneas paralelas pero en lados opuestos de esa línea de intersección, como los ángulos 1 y 4 y los ángulos 3 y 5. Esto significa que aunque lo que no conocemos su medida exacta, sabemos que son lo mismo. Entonces, si los ángulos 2, 4 y 5 suman 180 ° , podemos simplemente sustituir los ángulos 4 y 5 con 1 y 3 y ahora todos nuestros ángulos interiores suman 180 ° .

Teorema del triángulo isósceles

Lo mejor del Teorema de la suma del triángulo y la forma en que lo demostramos es que es cierto para todos los triángulos. No usamos ningún dato sobre el triángulo en sí porque no sabíamos nada. Para triángulos más específicos, podemos usar sus propiedades para ayudarnos a probar más sobre ellos. Por ejemplo, un triángulo isósceles se define por tener dos lados que son congruentes o iguales. Podemos usar esto para demostrar el teorema de que los ángulos de la base de un triángulo isósceles (los ángulos opuestos a los lados congruentes) también son congruentes.

Considere este triángulo isósceles:

Isósceles

Las marcas indican que los lados son congruentes y estamos tratando de probar que el ángulo 1 es congruente con el ángulo 2. Una vez más, usaremos una línea adicional para ayudarnos y la colocaremos justo en el medio del triángulo.

Isosceles bisecado

Debido a los lados congruentes que tenemos, esta línea es una línea de simetría . Esto significa que cada pieza a la izquierda de la línea coincide con una pieza correspondiente a la derecha. Por lo tanto, el ángulo 1 coincide y es congruente con el ángulo 2.

Teorema del segmento medio del triángulo

Nuestro último teorema de esta lección es menos conocido, pero una vez más es cierto para cualquier triángulo. Considere el triángulo ABC , como a continuación, con un segmento dentro de él que llamaremos XY . Este segmento se llama segmento medio , lo que significa que es paralelo a un lado e interseca el punto medio de los otros dos lados. El teorema dice que el segmento medio de cualquier triángulo debe tener la mitad de la longitud del lado al que es paralelo. La clave de esta prueba son los triángulos similares . Estos son triángulos que tienen las mismas medidas de ángulos y lados proporcionados .

Segmento medio

Ese segmento medio XY creó un triángulo AXY más pequeño que queremos mostrar que tiene las mismas medidas de ángulo y lados proporcionales a nuestro ABC original . Entonces, ¿cómo hacemos eso sin conocer ninguna de estas medidas? ¿Recuerda nuestro primer teorema cómo las líneas paralelas crearon esos ángulos congruentes? Volvemos a tener una situación similar, pero esta vez hay ángulos correspondientes . Un par son ángulos 1 y 2 y el otro par de ángulos es 3 y 4. Dado que ambos triángulos comparten el tercer ángulo, obviamente es congruente consigo mismo. Entonces tenemos ángulos congruentes, solo necesitamos lados proporcionados. Esto proviene de la segunda parte de lo que define un segmento medio; el segmento medio se cruza con los puntos mediosde los lados del triángulo. Eso significa que todo el lado AB es cortado por la mitad en X . Entonces, la longitud de XB es la mitad de AB e igualmente, YB es la mitad de CB . Esta es la definición de proporcional y significa que el lado restante también es la mitad. Por tanto, ¡probamos el teorema!

Resumen de la lección

Esto es solo una muestra de todos los teoremas que podrías ver con respecto a los triángulos. Si se encuentra con uno nuevo para probar, pruebe algunas de las técnicas que hemos usado aquí. Agregar líneas adicionales puede ser útil y conocer sus definiciones es clave. La explotación de definiciones como paralelo y punto medio ocurre mucho en las pruebas. Si bien no se cubrió en profundidad aquí, repasar los teoremas de congruencia de triángulos y los teoremas de similitud puede ayudar en muchas pruebas, incluso más allá del triángulo humilde.

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