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Pruebas directas: definición y aplicaciones

Publicado el 22 septiembre, 2020

Prueba directa

En el Sistema de Justicia Matemática, la verdad está representada por dos grupos separados pero igualmente importantes: la policía matemática, que investiga posibles delitos contra las matemáticas, y las pruebas directas que determinan si las declaraciones son verdaderas. Estas son sus historias.

Así es; es hora de ser policía de matemáticas. Puedes ser el novato directamente de la academia. Seré el policía veterano que intentará enseñarte un par de cosas, aunque quizás al final acabes enseñándome.

De todos modos, en esta lección, usaremos pruebas directas para llegar al fondo de algunos misterios matemáticos. Una prueba directa es un método para mostrar si una declaración condicional es verdadera o falsa usando hechos y reglas conocidas.

Una declaración condicional es una declaración ‘si, entonces’. Podríamos decir si p, entonces q , donde p es nuestra hipótesis yq es nuestra conclusión . Podemos mostrar esto así:


Así es como se muestra una declaración condicional.
forma de mostrar declaración condicional

Sabemos que p es verdadera, pero necesitamos averiguar si q es verdadera.

Ves declaraciones condicionales todo el tiempo. Si te quedas despierto hasta muy tarde, mañana estarás cansado. O si le das una galleta a un ratón, querrá un vaso de leche.

Cuando completamos pruebas directas, nuestras declaraciones ni siquiera necesitan incluir las palabras “si” y “entonces”. Considere esto: el producto de dos enteros impares es impar. ¿Cómo es esa una declaración que podemos probar? Podríamos reformularlo como:

Si xey son números enteros impares, entonces x * y resulta en un número entero impar.

Quizás sepamos que tenemos una víctima de asesinato. Necesitamos probar si el marido sospechoso lo hizo o no.

Prueba de muestra # 1

Bien, pero el asesinato está fuera de la jurisdicción de la policía de matemáticas. Con pruebas directas, es más probable que veamos algo como esto:

Si a y b son impares, entonces a + b es par .

Entonces, nuestra p es ‘si ayb son impares’. Nuestra q es ‘entonces a + b es par’. Nuestra prueba directa será una serie de afirmaciones que nos lleve de p a q. Necesitamos llenar los vacíos, como juntar las piezas al resolver un asesinato.

¿Tienes tu rostro en la escena del crimen? Hagámoslo. Construimos nuestra prueba como una lista, con cada paso en su propia línea.

Primero, diremos: Supongamos que ayb son números enteros impares. Esa es la primera mitad de nuestra declaración, o nuestra p.

A continuación, declararemos, Entonces a = 2k + 1 y b = 2l + 1, donde k y l son números enteros. Ok, novato, ¿estás conmigo? ¿No? Por definición, un número entero par es solo dos veces un número entero. Por ejemplo, 8 es solo 2 * 4. Y un número entero impar es dos veces un número entero, más 1. Piense en cualquier número entero impar, como 11. 11 es solo 2 * 5, más 1. Entonces, estamos eligiendo variables para enteros, k y l, y definir a y b en términos de ellos. Si a es 11, entonces a es 2 * 5 + 1, ¿verdad? Correcto.

A continuación, podemos decir, Por lo tanto, a + b = (2k + 1) + (2l + 1) = 2 (k + l + 1). Queremos saber qué es a + b; mantén siempre tu atención en el objetivo final. Simplemente sustituimos aquí, luego simplificamos.

Ahora podemos decir, si k y l son números enteros, también lo es k + l + 1. ¿Por qué? Ya sabemos que k y l son números enteros. ¿Y 1? Sí, también un número entero. Entonces, la suma de tres números enteros también es un número entero.

Finalmente, podemos decir que a + b es par . Eso es lo que queríamos demostrar. Acabamos de resolver el caso. Me seguiste a + b debe ser par si es igual a 2 veces un número entero. ¿Recuerdas antes cuando dijimos que un número entero es solo dos veces un número entero? Acabamos de mostrar que a + b es igual a dos veces un número entero, por lo que este caso está cerrado. Hora de una dona y los créditos de cierre:

créditos de cierre

Sí, así.

Prueba de muestra n. ° 2

Bueno, suficiente tiempo de inactividad. ¿Sabes lo que viene justo después de un episodio de Law & Proofs? Otro episodio de Law & Proofs. Resolvamos otro caso. Estamos investigando una serie de robos a bancos y … espera, perdón, espectáculo equivocado. ¿Qué tal esto? Si ayb son números enteros impares, entonces ab también debe ser un número entero impar. Uf. Eso es más en nuestra timonera.

Entonces, ¿cuál es nuestra hipótesis? “Si ayb son números enteros impares”. Esa es nuestra p. Nuestra conclusión, oq, es ‘entonces ab también debe ser un número entero impar’.

Espera, podrías decir. Este es fácil. Si a es 1 y b es 3, entonces ab es 3. Eso es impar. Si a es 5 y b es 11, entonces ab es 55. De nuevo, es impar. Seguro, eso es todo cierto. Pero, ¿quiere hacer una prueba en la que demostremos que esta afirmación es cierta para cada conjunto de números impares? ¿Cuánto dura tu turno?

Queremos hacer una prueba directa que simplemente pruebe la declaración para todos los enteros impares.

Empecemos, naturalmente, por el principio: si ayb son números enteros impares, entonces a = 2x + 1 y b = 2y + 1, donde xey son números enteros. Bien, parece complicado, pero sustituyamos algunos números para ver qué estamos haciendo. Decimos que xey son números enteros. Si x es 4, entonces 2x + 1 es 9. Si x es 7, entonces 2x + 1 es 15. No importa qué x o y sean, ese 2 lo hará par, entonces ese ‘+ 1’ lo hará impar. Y pensaste que ‘+ 1’ era solo para invitaciones de boda.

Es importante usar dos números enteros, como xey, y no solo x. ¿Por qué? Porque ayb son números enteros diferentes.

A continuación, podemos afirmar que ab = (2x + 1) (2y + 1) debido a la definición de ab . Estamos tratando de demostrar que ab es impar, así que tomemos nuestros valores ab y multiplíquelos.

A continuación, hacemos algunas matemáticas. ab = 4xy + 2x + 2y + 1 expandiendo los corchetes . Entonces, obtenemos ab = 2 (2xy + x + y) + 1 porque 2 es un factor común .

Eso es. ¿Lo ves? 2xy + x + y será un número entero. No importa lo complicado que parezca; el resultado será un número entero. Entonces, tenemos 2 veces un número entero, luego más 1. Así es como definimos un número entero impar. Entonces, ab debe ser extraño. Otro caso cerrado.

Resumen de la lección

En resumen, aprendimos que el trabajo policial implica una sorprendente cantidad de papeleo. Más importante aún, aprendimos sobre las pruebas directas.

Una prueba directa es un método para mostrar si una declaración condicional es verdadera o falsa usando hechos y reglas conocidas. Las declaraciones condicionales son declaraciones “si, entonces”. Básicamente es si p, entonces q . P es la hipótesis y q es la conclusión . La prueba directa es una serie de afirmaciones que comienzan con la hipótesis y luego utilizan hechos y procesos conocidos para determinar la verdad de la conclusión.

Los resultados del aprendizaje

Debería tener la capacidad de hacer lo siguiente después de ver esta lección en video:

  • Definir declaraciones condicionales
  • Explica cómo usar pruebas directas para mostrar si una declaración condicional es verdadera o falsa.

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