Punto de intersección: definición y fórmula

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Punto de intersección

¿Alguna vez ha estado conduciendo y ha notado una señal de tráfico similar a esta?


Señal de tráfico
intersección1

Esta es una señal de tráfico de intersección e indica que se acerca a un punto en el que se encuentran dos carreteras. Observe que en la señal de tráfico de la intersección, dos líneas se cruzan y se encuentran en el medio. Este es su punto de intersección. En matemáticas, llamamos al lugar donde dos líneas o curvas se encuentran con su punto de intersección .

El punto de intersección de dos curvas es significativo porque es el punto donde las dos curvas toman el mismo valor. Esto puede resultar útil en una variedad de aplicaciones. Por ejemplo, supongamos que trabajamos con una ecuación que representa los ingresos de una empresa y una ecuación que representa el costo de una empresa. El punto de intersección de las curvas correspondientes a estas dos ecuaciones sería el punto donde el ingreso es igual al costo; el punto de equilibrio para la empresa.

Encontrar un punto gráficamente

Una forma de encontrar el punto de intersección de dos líneas es graficar ambas y ver dónde se cruzan visualmente. Por ejemplo, suponga que estamos tratando de encontrar el punto de intersección de las líneas y = x + 2 e y = 2 x + 1. Primero graficaríamos ambas líneas en la misma gráfica y luego identificaríamos el punto en el que se cruzan. .


Punto de intersección de dos líneas
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Aquí, vemos que las dos líneas se cruzan en el punto (1,3). La desventaja de encontrar el punto de intersección gráficamente es que hay mucho margen de error. Por ejemplo, considere las dos líneas y = (20/11) x – (16/11) e y = (20/21) x + (4/21).


Ejemplo
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¿Observa cómo parece que se cruzan en el punto (2, 2)? En realidad, se cruzan en el punto (1.9, 2). Con este ejemplo, es fácil ver por qué la representación gráfica no siempre es la mejor manera de encontrar un punto de intersección. Sin embargo, es una herramienta increíblemente útil para comprobar un punto de intersección que ya ha encontrado. Entonces, ¿cómo encontramos con precisión un punto de intersección que se pueda verificar usando un gráfico? La respuesta está en encontrar este punto algebraicamente.

Encontrar un punto algebraicamente

Cuando se nos dan dos ecuaciones de líneas, podemos encontrar el punto de intersección de estas líneas algebraicamente usando los siguientes pasos:

  1. Resuelve cada una de las ecuaciones para y .
  2. Iguala las dos expresiones para y y resuelve para x . Este es su valor x del punto de intersección.
  3. Reemplaza el valor de x en cualquiera de las ecuaciones originales y resuelve para y . Este es su valor y para el punto de intersección.

Pongamos estos pasos en acción encontrando el punto de intersección de nuestro último ejemplo, algebraicamente esta vez. Queremos encontrar el punto de intersección de las dos rectas y = (20/11) x – (16/11) e y = (20/21) x + (4/21). Podemos eliminar el primer paso ya que ambas ecuaciones ya se han resuelto para y . El siguiente paso es igualar las dos expresiones para y entre sí y luego resolver para x .

(20/11) x – (16/11) = (20/21) x + (4/21) Multiplica ambos lados por 231, eliminando fracciones.
420 x – 336 = 220 x + 44 Suma 336 a ambos lados.
420 x = 220 x + 380Resta 220 x de ambos lados.
200 x = 380 Divide ambos lados por 200.
x = 380/200 = 1,91.9 es el valor x del punto de intersección.

Ahora conectamos x = 1.9 en cualquiera de las ecuaciones originales para encontrar el valor de y para el punto de intersección. Usemos y = (20/11) x – (16/11), pero nuevamente, podemos usar cualquiera.

y = (20/11) x – (16/11)Reemplaza x = 1.9 para x .
y = (20 /11)(1.9) – (16/11) Simplificar.
y = (38/11) – (16/11) Simplifique aún más.
y = 22/11 = 22 es el valor y del punto de intersección.

Por tanto, nuestro punto de intersección es (1.9, 2).

Resumen de la lección

El punto de intersección de dos líneas o curvas es el lugar donde se encuentran las dos líneas o curvas. Para encontrar el punto de intersección algebraicamente, resuelva cada ecuación para y , establezca las dos expresiones para y iguales entre sí, resuelva para x y sustituya el valor de x en cualquiera de las ecuaciones originales para encontrar el valor de y correspondiente . Los valores de x y y son el x – y y-valores del punto de intersección. Puede verificar este punto de intersección graficando las dos ecuaciones y verificando que, de hecho, se crucen en este punto. Ser capaz de encontrar este punto es extremadamente útil y una gran herramienta para tener en su caja de herramientas matemáticas.