¿Qué es el teorema del valor medio?

La tasa promedio de cambio de tres impulsores

Los tres conductores tienen la misma tasa de cambio promedio

¿Alguna vez ha notado que cuando obtiene direcciones en línea, generalmente se le da una estimación de cuánto tiempo le tomará llegar allí? Para viajes largos, esta estimación a menudo se basa en una velocidad promedio de aproximadamente 62 millas por hora (mph). Pero no todo el mundo conduce a 100 km / h. Veamos la forma en que conducen tres personas diferentes y tracemos su ubicación en función del tiempo.

Así que aquí tengo 62 mph como referencia. Normal Nate es un conductor promedio. Normal Nate tiende a sentarse a 100 km / h cuando conduce; a veces va a 60, a veces a 65, pero está bastante cerca de 62. Entonces, si miras su ubicación como una función del tiempo, está bastante cerca de la línea donde estaría si estuviera yendo exactamente a 62 mph. Constant Clara, por otro lado, conduce exactamente a 100 km / h en todo el camino. El último Leo realmente no va a ninguna parte por un tiempo, y luego acelera muy rápido para llegar a su destino.

Tasa instantánea de cambio

Gráfico para Nate normal

Los tres, Normal Nate, Constant Clara y Late Leo, tienen un promedio de 62 mph. Ésta es su tasa de cambio promedio . La tasa de cambio promedio es la distancia total dividida por el tiempo total, y dado que los tres recorrieron la misma distancia en la misma cantidad de tiempo, su tasa de cambio promedio es la misma.

Ahora, para cada uno de estos tres, su tasa de cambio promedio es de 62 mph, pero ¿qué pasa con su tasa de cambio instantáneo ? Bueno, la tasa instantánea de cambio es qué tan rápido van en cualquier momento exactamente. Es su velocidad a los 20 minutos o 30 minutos adentro. Entonces, la tasa instantánea de cambio es la tangente a esta gráfica de posición-tiempo. Puedes pensar en ello como la velocidad en un solo punto en el tiempo. Si bien la tasa de cambio promedio para los tres de estos conductores es de 62 mph, la tasa de cambio instantánea va a variar; Dependerá no solo del tiempo, sino también del conductor.

¿Habrá alguna vez un punto en el que Normal Nate vaya exactamente a 62 mph? ¿O adónde va el último Leo exactamente a 100 km / h? ¿La tasa de cambio instantánea será igual a la tasa de cambio promedio para cualquiera de estos factores? ¡Bueno, la respuesta es sí! Esto se debe al teorema del valor medio .

Gráfico para Constant Clara

Comprender el teorema del valor medio

El teorema del valor medio dice que para una función en la que siempre tienes una tasa de cambio instantánea, la tasa de cambio promedio será igual a la tasa de cambio instantánea en algún lugar de la región donde has tomado el promedio.

Entonces, ¿qué significa esto? Echemos un vistazo a Normal Nate. El Nate normal promedió 62 mph durante 2 horas. Su tasa de cambio promedio fue 62. Encontramos que tomando el número total de millas que ha viajado (124) y dividiendo eso por la cantidad de tiempo que pasó (2). Esa es su tasa promedio de cambio. Ahora, en un par de puntos de su recorrido, iba exactamente a 100 km / h. En esos puntos, la tangente a su gráfico de posición era igual a 62. Entonces, si este es el gráfico de su posición en función del tiempo, iba exactamente a 62 mph en tres puntos entre cero y 2 horas. En estos tres puntos, su tasa de cambio instantánea fue igual a su tasa de cambio promedio.

Constant Clara también iba a 100 km / h, pero iba a 100 km / h exactamente durante todo el viaje, por lo que su tasa de cambio instantánea fue igual a su tasa de cambio promedio durante las 2 horas completas.

Gráfico para Leo tardío

El último Leo también promedió 62 mph, pero tuvo un comienzo tardío. Si miro su posición en función del tiempo, veo que iba a 100 km / h al comienzo de su viaje cuando estaba empezando a acelerar y más cerca del final de su viaje cuando estaba reduciendo la velocidad. Pero todavía alcanzó las 62 mph. Su tasa de cambio instantáneo fue todavía de 62 mph en algún momento a lo largo de este intervalo de 2 horas.

Resumen de la lección

Así que recapitulemos. La tasa promedio de cambio durante algún intervalo de una a B , como 2 horas, es igual a su punto final menos su punto de partida dividida por su región. Así que aquí teníamos su punto final menos su punto de inicio, que eran 124 millas divididas por 2 horas. Nuestra tasa promedio de cambio fue de 62 mph. La tasa de cambio instantánea es la pendiente tangente a la curva en algún punto. Es exactamente qué tan rápido vas en cualquier momento.

El teorema del valor medio dice que su tasa de cambio promedio en algún intervalo tiene que ser igual a la tasa de cambio instantánea en algún lugar dentro de ese intervalo. Pero eso solo es cierto si siempre tiene una tasa de cambio. Entonces eso solo es cierto si su velocidad siempre va a estar definida.