¿Qué es un número imaginario?

Publicado el 18 septiembre, 2020

Introducción

Si has visto muchos de estos videos, es posible que sepas que vivo en California, pero en realidad me mudé recientemente a casa al Medio Oeste para estar cerca de mi familia. Sin embargo, antes de irme, había algunas cosas que quería hacer como despedida de California. Además de ir a la playa y andar en motocicleta por las montañas de Santa Cruz, un paseo en bicicleta por San Francisco parecía una buena forma de ver la ciudad por última vez.

Uno de los lugares que tenía que ver era el puente Golden Gate, y decidí que cruzarlo en bicicleta sería una buena idea. De hecho, ¡fue una idea terrible! ¡Hacía mucho viento! Honestamente, me derribó una vez, como si me cayera de la bicicleta. Me hizo pensar: ¿cómo diablos se ha mantenido este puente aquí durante 75 años desafiando este viento 24/7? Bueno, ¡resulta que la respuesta es que los ingenieros hicieron sus cálculos!

De donde vienen los números imaginarios


No hay raíz cuadrada de -16 ni ningún número negativo
Ecuación cuadrática con negativo bajo raíz cuadrada

No sé las ecuaciones exactas que usaron, pero en algún lugar de ahí, probablemente necesitaban resolver una cuadrática como esta: x ^ 2 – 4 x + 8 = 0. Existe una buena posibilidad de que hayan usado la fórmula cuadrática por sustituyendo en la una , b y c valores, y luego evaluar desde allí. Pero mira lo que sucede en el interior de la raíz cuadrada. Cuando evalúas b ^ 2 – 4 ac , terminas con -16. Esto es un problema.

La raíz cuadrada de -16 no existe porque no hay un número que, cuando se multiplica por sí mismo, se convierta en -16. 4 * 4 es solo 16 positivo y -4 * -4 también es positivo 16. Entonces, ¿qué podemos hacer? Bueno, es posible que queramos tomar el camino más fácil y decir simplemente que no hay solución, pero eso significaría que el puente Golden Gate o no se construye o se construye sin ser lo suficientemente fuerte como para soportar ese viento loco, y eso colapsa mientras intento cruzarlo en bicicleta. Ninguna de estas opciones fue aceptable para los constructores en la década de 1930. Afortunadamente, los matemáticos ya habían encontrado una forma de solucionar este problema: los números imaginarios .

Si decimos, ‘está bien, entonces las raíces cuadradas negativas en realidad no existen, pero imaginemos que sí’, en realidad podemos resolver problemas que les permitan a esos ingenieros averiguar exactamente qué tan fuerte construir nuestro puente. Sé que es extraño pensar que los números imaginarios nos permiten resolver problemas del mundo real, ¡pero es la verdad!


La raíz cuadrada de menos 1 se llama i, un número imaginario
Raíz cuadrada de uno negativo

Resolver con números imaginarios

Entonces, en lugar de decir que nuestra cuadrática es irresoluble, sacamos el negativo de la raíz cuadrada. Esto convierte la raíz cuadrada de -16 en la raíz cuadrada de -1 por la raíz cuadrada de 16 positivo. Ahora la raíz cuadrada de 16 es normal; Está bien, tiene un número positivo y la raíz cuadrada de -1 es la única parte con la que tenemos un problema. Entonces, lo que hacemos es llamar a esa raíz cuadrada de -1 la letra i . Ahora simplemente continuamos como lo haríamos normalmente. Sacamos la raíz cuadrada de 16 y obtenemos 4, luego dividimos ambos términos entre 2, y terminamos con nuestra respuesta: x = 2 +/- 2 i .

Entonces, al aislar la parte del problema que lo estaba dificultando, que era el negativo en el interior de la raíz cuadrada, luego simplemente dándole una letra como nombre y luego diciendo ‘vamos a fingir que eso no está ahí y haz el resto del problema es normal, ‘podemos obtener una respuesta a una pregunta que solía ser irresoluble, y nos ayuda a construir puentes y todo tipo de cosas.


El uso de i en la ecuación permite eliminar el negativo debajo del signo de la raíz cuadrada
Ecuación cuadrática con I

Ya sea que obtenga o no un número imaginario en su respuesta cuando resuelva una cuadrática, todo se reduce a lo que está dentro de la raíz cuadrada, que se llama discriminante . Si el discriminante es positivo, obtendrá una de esas situaciones “normales” en las que tiene dos respuestas de números reales . Si el discriminante es igual a 0, solo obtendrá una respuesta de número real. Pero si el discriminante es negativo, es cuando obtienes dos respuestas que son números imaginarios. Ahora que has visto de dónde vienen los números imaginarios, repasemos el vocabulario asociado con ellos.

Números complejos

Ya hemos hablado de la unidad imaginaria más básica, que es i , la raíz cuadrada de -1. Cualquier número imaginario tendrá una i : 3 i , 14 i , -6 i , -4/5 i : todos estos son números imaginarios. El siguiente paso es agregarle un número real, como vimos en nuestro ejemplo hace un minuto. Cuando haces esto y obtienes algo como 2 + 2 i o 5 – 3 i o -1 + 10 i , esto es lo que se llama un número complejo . Es una combinación de un número real y uno imaginario.

Números y exponentes imaginarios

Vimos anteriormente que los números complejos e imaginarios en sí mismos pueden ayudarnos a resolver problemas del mundo real, pero hay otra razón por la que son útiles. Si acepta que un número imaginario podría funcionar, entonces existe la posibilidad de que vuelva a convertirse en un número real.

Entonces, ¿de qué estoy hablando? Bueno, cualquier cosa a la primera potencia es solo ella misma, entonces i ^ 1 es i . Pero ¿qué tal i ^ 2? Bueno, i es la raíz cuadrada de -1, entonces i ^ 2 es solo la raíz cuadrada de -1 al cuadrado. Pero las raíces cuadradas y la potencia de 2 son operaciones inversas ; se deshacen, se anulan. Entonces, todo lo que nos queda es -1, entonces i ^ 2 es solo -1, un número real.

Nos hemos topado con un patrón que continuará aquí. Dado que i ^ 2 es -1, ¿cuál podría ser i ^ 3? Bueno, i ^ 3 es solo i ^ 2 * i ; i ^ 2 es solo -1, por lo que -1 * i es solo – i . Entonces i ^ 3 es en realidad solo – i .


Un patrón emerge cuando se trabaja con números imaginarios con exponentes.
Patrón de exponente de número imaginario

Pasando a i ^ 4 – bueno, eso es solo i ^ 2 por i ^ 2; i ^ 2 es -1, entonces eso es solo -1 * -1, que es solo 1. positivo. De nuevo, obtenemos un número real.

Entonces, lo que tenemos aquí es este patrón. i ^ 1 es simplemente antiguo i , pero i ^ 2 es -1 (un número real), entonces i ^ 3 se convierte en – i , luego i ^ 4 vuelve a ser un número real positivo 1. Si continuamos tomando potencias de i , en realidad, terminamos viendo que este patrón se repite una y otra y otra vez. Sé que esto puede volverse un poco loco, así que en lugar de tratar de explicarte cada uno de ellos, puedes intentarlo por tu cuenta o creer en mi palabra que i ^ 5 terminaría convirtiéndose de nuevo en i , i ^ 6 sería -1, i ^ 7 es – i , i^ 8 es 1, y comienza de nuevo. Entonces, el patrón va i en -1 en – i en positivo 1 y luego se repite.

La razón por la que señalamos este patrón es que cuando tratamos con números imaginarios, a menudo terminamos con poderes de ellos, pero es bueno poder simplificarlos de nuevo a lo básico. Entonces, saber que, por ejemplo, i ^ 7 es solo – i , nos permite reescribir nuestro número un poco más simple.

Con suerte, está comenzando a ver que si puede permitirse imaginar que estos otros números podrían existir, muchos otros patrones interesantes (de eso se tratan las matemáticas) comienzan a surgir. ¡Es algo bueno que lo hayan hecho, o de lo contrario el puente Golden Gate podría haberse derrumbado debajo de mí mientras lamentaba mi decisión de verlo de cerca y personal!

Resumen de la lección

Para repasar: si terminas con la raíz cuadrada de un número negativo, imagina que existe colocando una i al lado, haciendo que el interior de la raíz cuadrada sea positivo y luego evaluándolo como lo harías normalmente. Que i es la raíz cuadrada de -1, y es la unidad más básica de un número imaginario. Pasar de i en sí mismo a i ^ 2 a i ^ 3 y luego a i ^ 4 nos muestra el patrón que seguirán todas las potencias siguientes de i .

Cuando combinas un número imaginario con uno real, obtienes un número complejo, y al resolver una ecuación cuadrática, puedes decir qué tipo de soluciones obtendrás al determinar si el discriminante es positivo, cero o negativo.

Objetivos de la lección

Al final de esta lección, podrá explicar con precisión qué es un número imaginario.

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