¿Qué es un sistema de ecuaciones?

Comparando y contrastando

Comparar y contrastar es algo que surge en todas las asignaturas escolares y también en la vida real. Tal vez estás tomando una clase de inglés que te pide que escribas un ensayo que compare y contrasta ‘El mago de Oz’ y ‘Huckleberry Finn’. O tal vez estás tomando una clase de historia mundial que te pide que hables sobre las similitudes y diferencias entre la Primera Guerra Mundial y la Segunda Guerra Mundial. Las matemáticas son de la misma manera; a veces, una ecuación puede ser lo suficientemente buena para toda la información que estamos tratando de encontrar, pero a menudo es cierto que queremos comparar varias ecuaciones al mismo tiempo. Cada vez que tenemos más de una ecuación en un solo problema, se llama sistema de ecuaciones , y de eso se trata esta lección.

Comparación de la velocidad de dos corredores

Así que me gustaría darles un ejemplo de un sistema de ecuaciones, pero primero comenzaré con un poco de información básica.

Me gusta correr. Salgo de vez en cuando e incluso he estado en algunas carreras. De hecho, también hice un triatlón hace unos años. Pero mi novia es una gran corredora y corre casi todos los días. Decidimos que sería divertido hacer una carrera juntos, así que comenzamos a correr juntos para prepararnos, pero rápidamente nos dimos cuenta de que ella era mucho más rápida que yo. Así que, para mantener el interés de los dos, decidimos darme un poco de ventaja y ver si podía atraparme.

Puedo correr aproximadamente 1 milla cada 9 minutos, pero ella puede correr 1 milla cada 7 minutos. Entonces, si fuéramos a practicar para un medio maratón, que son 13 millas, y yo tuviera una ventaja de 2 millas, ¿podría alcanzarme?

Esto representa un sistema de ecuaciones porque tenemos dos ecuaciones: una que me representa a mí y otra que la representa a ella. Cuando lo resolvemos, estamos tratando de averiguar cuándo estas ecuaciones son iguales.

Ahora podemos hacer esto de dos maneras, ya sea con una gráfica o con álgebra. Como siempre, la gráfica nos dará una buena estimación visual, pero el álgebra hará un trabajo mucho mejor al darnos una respuesta exacta.

Graficar un sistema de ecuaciones

Así que sigamos adelante y comencemos primero con la gráfica para que podamos tener una idea de lo que está sucediendo y tal vez hacer una suposición sobre lo que pensamos, y luego usaremos el álgebra más tarde para verificar nuestra suposición.

Si comenzamos graficando mí primero, voy a comenzar ya a 2 millas por delante incluso después de que hayan pasado cero minutos, por lo que mi primer punto está aquí a 2 millas. Luego, cada 1 milla que subo, tengo que pasar 9 minutos, por lo que mi siguiente punto sería aquí. Luego subiría otra milla en 9 minutos y mi próximo punto estaría aquí. Podemos seguir subiendo 1 milla en 9 minutos y obtenemos un montón de puntos seguidos.

Pero no me estoy teletransportando mágicamente entre puntos; Lo estoy logrando lentamente. Entonces, entre estos puntos hay un montón de pequeños puntos. Estoy llegando lentamente a ese punto y si pones suficientes puntos pequeños en una fila, terminan convirtiéndose en una línea sólida. Lo que terminamos es una línea recta que dice exactamente dónde estoy después de una cierta cantidad de minutos.

La razón por la que es una línea recta es porque asumimos que puedo ir a la misma velocidad todo el tiempo. Nunca reduzco la velocidad y nunca acelero. Es una ecuación lineal. Siempre estoy aumentando en la misma cantidad cada vez.

Gráfica de un sistema de ecuaciones

Su ecuación comienza en cero porque no tiene ventaja. Ella comienza aquí en cero, pero luego cada 1 milla que sube, solo tiene que recorrer más de 7 minutos. Entonces, si continuamos con ese patrón, obtenemos un montón de pequeños puntos seguidos; conectamos todos los puntos y obtenemos una línea para ella también.

Y lo que estamos buscando es donde ella me atrapa, que es donde las líneas se cruzan; el lugar donde están en el mismo lugar. Parece estar aquí mismo. Así que parece que me va a ganar, pero sigamos adelante y revisemos el álgebra.

Configurar un sistema de ecuaciones

Entonces, debido a que ambas ecuaciones son líneas, eso significa que son ecuaciones lineales, lo que significa que puedo escribirlas en forma pendiente-intersección ( mx + b ). Entonces, las únicas dos cosas que necesito para encontrar para cada ecuación son la pendiente (cuánto nos estamos moviendo) y la intersección en y (donde comenzamos).

Si hacemos mi ecuación primero, mi punto de inicio está en 2 millas porque tengo una ventaja de 2 millas. Entonces mi valor de b es 2. La pendiente, que es la subida durante la carrera, es de 1 milla y más de 9 minutos. Entonces mi pendiente es 1/9, lo que significa que mi ecuación es y = (1/9) x +2.

Ella, por otro lado, no tiene ventaja, por lo que su intercepción y es cero. Podríamos poner un ‘más cero’ al final o simplemente no podríamos escribirlo en absoluto. Su pendiente, cuánto se mueve (la subida sobre la carrera), está subiendo 1 milla y más de 7 minutos cada vez. Su pendiente es 1/7. Su ecuación es y = (1/7) x .

Resolver para x en el sistema de ecuaciones

Resolver un sistema de ecuaciones

Dado que estamos tratando de encontrar dónde son iguales estas dos ecuaciones, solo queremos saber en qué punto son iguales la y sy la x s. Así que si quiero que el y s sea el mismo – si quiero que mi y que sea el mismo que ella y – lo que puedo hacer es simplemente sustituir lo que sé de mi y es en ella y . Entonces, donde la veo y , pongo lo que es mi y . Esto significa que tomo la expresión (1/9) x +2 y la pongo donde estaba su y . Obtengo una nueva ecuación, que es (1/9) x +2 = (1/7) x. Ahora tengo una ecuación lineal con una variable que puedo resolver usando operaciones inversas.

Puedo deshacer la (1/9) x con una resta al otro lado. Tengo que hacer una resta de fracciones, así que tengo que hacer (1/7) x menos (1/9) x , lo que significa obtener un denominador común. (9/63) x menos (7/63) x me da (2/63) x .

En el otro lado de la ecuación, todavía tenemos nuestro 2. Ahora necesitamos deshacer una fracción. Puedo deshacer una fracción multiplicando por su recíproco. Entonces multiplico ambos lados por 63/2. La x ahora está por sí misma y 2 * 63/2, usando alguna multiplicación de fracciones, nos dice que x es igual a 63.

Si volvemos a consultar nuestro gráfico, vemos que el eje x es minutos, por lo que acabamos de encontrar que me atrapará en 63 minutos. Pero no estamos exactamente seguros de si eso es antes o después de que hayamos terminado las 13 millas, por lo que para saber en qué parte de la pista estaba, tenemos que volver a sustituir el 63 en cualquier ecuación. En realidad, no importa cuál porque estamos en el mismo lugar, por lo que obtendremos la misma respuesta de cualquier manera.

Resolver el sistema revela el punto exacto donde se encuentran los corredores

Elegiré conectarlo al de ella porque es un poco más fácil (no tenemos que agregar el 2 al final). Y obtengo y = (1/7) * 63. Haciendo otro problema de multiplicación rápida de fracciones, terminamos con y = 9 millas. Esto significa que le tomó 63 minutos alcanzarme y estábamos a 9 millas de carrera, así que me ganó por completo.

Resumen de la lección

Para repasar, un sistema de ecuaciones es cualquier problema que tiene más de una ecuación. Cuando resolvemos un sistema de ecuaciones, estamos encontrando el punto donde esas ecuaciones son iguales. Eso significa que si graficamos el sistema e intentamos resolverlo usando la gráfica, encontramos dónde se cruzan las dos líneas. El punto de intersección es nuestra solución.

Mientras que si queremos intentar resolverlo con álgebra, podemos usar lo que se llama método de sustitución . Si sabemos qué es una variable, podemos sustituir la expresión por una variable en por esa misma variable en la otra ecuación y luego resolver la ecuación resultante.