foto perfil

¿Qué es un vector en matemáticas? – Definición y ejemplos

Publicado el 1 octubre, 2020

¿Qué es un vector?

Un vector representa una cantidad que tiene tanto magnitud (distancia) como dirección. Por ejemplo, cuando viaja 16 kilómetros al sur, su viaje puede representarse como una cantidad vectorial. Sabemos que estás recorriendo una distancia de 16 km y sabemos que te diriges hacia el sur. La fuerza y ​​la velocidad son algunos ejemplos de cantidades vectoriales.

Las cantidades escalares solo tienen magnitud y se usan con cantidades vectoriales. Si le dicen que el auto de Sam viaja a 65 millas por hora, la única información que le dicen es la velocidad de medición escalar. Sin embargo, cuando escuchas que el auto de Sam viaja hacia el suroeste a 65 millas por hora, se te da una medida vectorial. Esto es cierto porque ahora conoce tanto la magnitud como la dirección. Un vector es importante en física; es importante en aeronáutica, espacio y viajes en general. Los pilotos y marineros utilizan cantidades vectoriales para llegar y regresar de sus destinos de forma segura.

Representando vectores

El método de representar vectores es muy importante para la comprensión de los vectores. Usamos un rayo para representar un vector. Nombramos un vector usando letras minúsculas o mayúsculas. Mira esta imagen. Hablemos de algunas cosas importantes:

Vector 1

1) Tenga en cuenta que el vector a está representado por letras mayúsculas y minúsculas.

2) Cuando un vector está representado por letras mayúsculas, usamos esta notación. No importa la dirección del vector, siempre se escribe de esta forma. Nombramos los vectores de la cola a la cabeza (o punta de flecha). En nuestro ejemplo, el vector es AB, no BA . A es la cola, B es la cabeza.

3) El vector b solo está representado por una letra minúscula. Supongamos que el vector b es opuesto en dirección al vector a . Si esto es cierto, entonces el vector b se llama vector opuesto , lo que significa que los vectores tienen la misma magnitud pero diferente dirección.

4) Dado que el vector b es opuesto al vector a , entonces el vector b también se puede escribir como – a . Esto significa b = – a . Negamos un vector para mostrar que tiene la misma magnitud que otro vector que se dirige en dirección opuesta. Es como dos calles paralelas, una hacia el norte y otra hacia el sur.

Operaciones con vectores

Podemos sumar y restar vectores. Podemos sumar vectores conectando la cabeza con la cola. Cuando sumamos dos vectores, el vector final se llama resultante y se indica con una r minúscula . Echemos un vistazo a esta imagen:

Suma de vectores

En este diagrama, tenemos tres vectores. Agregamos el vector q al vector p . Nuestro vector resultante es r . Nuestro punto de partida está en la cola del vector q . Nuestro destino es llegar a la cabecera del vector p . Por supuesto, en lugar de pasar del vector amarillo al vector azul, podríamos viajar fácilmente directamente sobre el vector r . Los vectores nos ayudan a ver la dirección de manera más realista. Si estuviera viajando por esta ruta, definitivamente tendría sentido viajar en el vector r para llegar más rápido al lugar al que se dirige. Sin embargo, este no es siempre el caso.

Sumando los vectores obtenemos q + p = r , que es lo mismo que decir p + q = r . Sin embargo, nuestro diagrama sería un poco diferente porque entonces el vector azul tendría que ser el primero.

Vector

Observe que no cambiamos la dirección de ningún vector. Sin embargo, el diseño de nuestro diagrama cambia debido a nuestro punto de partida. Por eso es importante etiquetar y dibujar vectores en consecuencia. Esta es también la razón por la que los vectores son muy importantes para los pilotos, porque el lugar desde donde se parte depende del viaje que realice y hacia dónde lo lleve.

Un vector de desplazamiento también es muy importante en nuestra discusión de vectores y se refiere a la posición final de un vector después de una serie de movimientos. El desplazamiento cero se puede explicar con este sencillo ejemplo. ¿Qué pasa si das cuatro pasos hacia adelante y cuatro hacia atrás? Terminarías en tu lugar de partida, ¿verdad? Eso es desplazamiento cero; no hiciste ningún progreso. Tu posición final es desde donde comenzaste, así que en cierto sentido, aunque te moviste, no progresaste.

Veamos un ejemplo para calcular el desplazamiento:

Vector 4

Supongamos que un marinero comienza en el vector a para llegar al vector d . El vector r representa el desplazamiento resultante. Por lo tanto, sumaríamos a + b + c + d = r . Tenga en cuenta que los vectores b y d son iguales en magnitud pero de dirección diferente. Por lo tanto, también podríamos representar la suma como a + b + cb = r , ya que d = – b . Nuestro desplazamiento entonces es a + c= r .

Parecería ridículo viajar hacia adelante c unidades para retroceder c unidades; debido a fuerzas inevitables de la naturaleza, un piloto o marinero puede tener que realizar estos viajes. Sin embargo, en la mayoría de los casos toman la ruta más corta posible.

Podemos multiplicar vectores por cantidades escalares. Por ejemplo, el vector a se puede duplicar, lo que nos da 2 a . Esto significa que la longitud del vector a se duplica, pero la dirección no cambia.

Otra notación importante de los vectores es que la magnitud de un vector se representa mediante el signo del valor absoluto. Esa es la magnitud o la distancia de un vector de una se escribe así:

Vector 5

Si x = 10 e y = 15, entonces la magnitud del vector a sería la raíz cuadrada de (100 + 225). Esto nos da 18,02 unidades. En otras palabras, si vas 10 unidades al sur y 15 unidades al oeste, ¿qué distancia recorriste realmente en dirección suroeste? Sería 18,02 unidades SW.

Resumen de la lección

  • Un vector es una cantidad que tiene magnitud y dirección, como una velocidad de 60 millas por hora, en dirección norte.
  • Una cantidad escalar solo tiene magnitud, como tiempo: 8 días.
  • Podemos sumar vectores conectando la cabeza con la cola.
  • Dos vectores que tienen la misma magnitud pero van en direcciones opuestas son vectores opuestos . Un signo negativo se utiliza para representar dirección opuesta, tal como vector un y – una .
  • Podemos realizar operaciones en vectores como sumar, restar y multiplicar.
  • Un vector de desplazamiento es el vector resultante después de una serie de movimientos.
  • Desplazamiento cero significa que un movimiento ocurrió el mismo número de unidades en direcciones opuestas (por ejemplo, 10 unidades al norte y 10 unidades al sur), de modo que el objeto está de vuelta en su posición original.

Articulos relacionados