Rodrigo Ricardo

¿Qué es una función exponencial?

Publicado el 18 septiembre, 2020

Funciones exponenciales

Si piensa en funciones con exponentes, probablemente esté acostumbrado a ver algo como esto.

Gráfica de una función con exponente

Esa es la gráfica de y = x 2 , y de hecho es una función con exponente. Pero no es una función exponencial.

En una función exponencial , la variable independiente, o el valor de x, es el exponente, mientras que la base es una constante. Por ejemplo, y = 2 x sería una función exponencial. Así es como se ve.

Gráfica de una función exponencial

La fórmula para una función exponencial es y = ab x , donde un y b son constantes. Puede ver que esto se ajusta al patrón básico de una función, donde inserta algún valor de x y obtiene algún valor de y . Pero, ¿para qué sirven las dos constantes? ¿Por qué necesitas dos?

Para ilustrar esto, veamos un ejemplo de algo que podrías expresar con una función exponencial. En este ejemplo, veremos la popularidad de los teléfonos móviles.

Función de ejemplo

Cada vez que aparece una nueva tecnología, no todas las personas se apresuran a obtenerla de una vez. Comienza con solo unas pocas personas, y luego gradualmente se va imponiendo más y más, y luego todos lo están usando.

¡Oye, parece una función exponencial!

Gráfico que muestra el crecimiento exponencial del uso de teléfonos móviles

Por ejemplo, tomemos los teléfonos celulares. En la época del hombre de las cavernas, también conocida como la década de 1980, los teléfonos móviles eran bastante raros. Sin entrar en los números exactos, digamos que en 1980, cinco personas en su ciudad tenían un teléfono celular.

En el transcurso de ese año, cada una de esas personas persuadió a un amigo para que comprara un teléfono, por lo que después de un año tenías diez personas con teléfonos. Luego, cada una de esas personas persuadió a un amigo para que obtuviera un teléfono, así que después de dos años, había 20 personas con teléfonos.

Si siguiera duplicando el número cada año, obtendría un número realmente enorme muy rápido; ese es el objetivo de una función exponencial. Cada año, el número aumenta en una cantidad creciente.

Ahora volvamos a nuestra ecuación para una función exponencial: y = ab x .

Y es el número de personas con teléfonos, porque esa es nuestra variable dependiente. X es el número de años desde 1980, porque esa es nuestra variable independiente.

Comenzamos con solo cinco personas con teléfonos celulares, por lo que 5 es nuestro valor inicial , el valor inicial de la función, representado por la constante a . En el primer año, lo multiplicamos por 2.

En el segundo año, tomamos nuestro número desde el primer año y multiplicado que por 2. Esto nos da 5 x 2 x 2, lo que equivale a 5 veces 2 al cuadrado. El resultado fueron 20 personas. En el tercer año, cada una de esas 20 personas convenció a un amigo para que comprara un teléfono, así que simplemente tuvimos que multiplicar por 2 nuevamente. Esto nos dio 5 x 2 x 2 x 2, o 5 por 2 a la tercera potencia, que es igual a 40. Puedes ver el patrón aquí: estamos sumando 1 al exponente cada año, lo que significa que multiplicamos 2 por sí mismo. una vez más cada año. En este ejemplo, 2 representa el número multiplicado repetidamente en cada paso , el valor elevado a la potencia de x , representado por la constante b .

Es por eso que necesitamos dos constantes en la ecuación: una para el valor original y otra para el valor elevado a la potencia de x . Esto puede ser un poco confuso, porque muchas funciones exponenciales comienzan con una sola cosa para empezar, por lo que a = 1. 1 veces cualquier número es ese mismo número, por lo que parece que la función es solo y = b x . Pero no se confunda: ¡ a todavía está ahí! Es igual a 1.

Otro ejemplo

Una forma común de ver las funciones exponenciales descritas en palabras es con una frase como “aumenta o disminuye en un _____% por año”. Por ejemplo, una inversión aumenta en valor en un uno por ciento por año. Si calcula los intereses de un préstamo, utilizaría este tipo de ecuación.

Echemos un vistazo a un problema de ejemplo para ver cómo funciona.

Un inversor compra una propiedad en una zona prometedora de la ciudad. A medida que el área se vuelve más agradable, el valor de la propiedad aumenta. El valor de la propiedad aumenta en un dos por ciento por año. Si el inversor lo compró originalmente por $ 500 000, ¿cuánto vale después de cinco años?

Conectemos esto a nuestra fórmula de función exponencial, y = ab x .

X es el número de años después de la compra inicial. Y es el valor de la propiedad. Estas son nuestras variables de entrada y salida.

A representa el valor inicial de la función. El valor inicial de esta propiedad es 500.000, así que lo conectaremos para un . Ahora, la parte complicada es averiguar b .

En el primer problema, b era 2, porque teníamos el doble de usuarios de teléfonos móviles cada año. En este caso, la propiedad solo vale dos por ciento, o 0.02 dólares más, por lo que su valor aumenta más lentamente. Es posible que tenga la tentación de ingresar 0.02 para b , pero solo eche un vistazo y vea qué sucede cuando grafica eso.

¡Puede ver de inmediato que esto no es un aumento de valor! Esto nos da una función que muestra cuánto valdría la propiedad si cada año se valorara al dos por ciento de su valor el año anterior. Pero no queremos el dos por ciento de su valor el año anterior; queremos un dos por ciento más que su valor el año anterior. Para obtener eso, tendríamos que multiplicar por 1.02.

y = 500 000 * 1,02 x

Si determinamos algunos de los valores de esta función, obtenemos:

Data de muestra

Así es como se ve en un gráfico.

Gráfico de función de muestra

¡Ah, eso está mejor! No puede ver que la pendiente se vuelva más empinada porque los números son muy grandes, pero observe cómo y aumenta un poco más cada vez: primero aumenta en 10,000, luego en 10,200, luego en 10,404, y así sucesivamente.

Puede ver que si hace los cálculos a mano, funciona con los mismos valores que obtiene de la función; multiplicar el valor de cada año por 1.02 para encontrar el aumento del dos por ciento le da los mismos valores para cada año. Entonces, para el año cinco, que es lo que se hizo originalmente la pregunta, el valor sería $ 552,020.40. ¡Nuestro inversor inteligente ganó $ 52,000!

Resumen de la lección

En esta lección, aprendió sobre funciones exponenciales. Una función exponencial se escribe en la forma y = ab x .

  • y representa la salida
  • a representa el valor inicial de la función
  • b representa la tasa de crecimiento
  • x representa la entrada

En una función exponencial, a se multiplica por b x veces para crear y . La gráfica de una función exponencial se ve como una curva que comienza con una pendiente muy plana, pero comienza a hacerse cada vez más empinada con el tiempo.

Puede utilizar estas funciones para resolver problemas sobre todo, desde el crecimiento de bacterias hasta los intereses que gana en su cuenta bancaria. ¡Pruebe algunas de las preguntas del cuestionario y vea cómo le va!

Los resultados del aprendizaje

Esta lección sobre funciones exponenciales podría prepararlo para lograr estos objetivos:

  • Ilustra una función exponencial
  • Identificar la gráfica de una función exponencial
  • Diseccionar una función exponencial usando un ejemplo de la vida real

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