¿Qué es una matriz?

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¿Qué es una matriz?


La estructura de una matriz
Estructura de la matriz

Las matrices son el ingrediente principal de una rama de las matemáticas llamada álgebra lineal . El álgebra lineal se vuelve agradable cuando comienzas a resolver sistemas de ecuaciones lineales. Al poner solo la información esencial en un gráfico grande, le permite concentrarse en los números y puede simplificar gran parte del proceso.

Por ejemplo, digamos que está resolviendo un sistema de dos ecuaciones con dos variables. Puedes resolver esto con eliminación multiplicando la ecuación superior por 3 y la ecuación inferior por 2. Esto hace que los coeficientes de tu x s sean opuestos, y puedes sumarlos para eliminar las x sy simplemente obtener las y s por sí mismas y ir a partir de ahí resolviendo para y y resolviendo el sistema.

Ejemplo de sistema de dos ecuaciones

Ejemplo de un sistema de dos ecuaciones
Ejemplo de sistema de dos ecuaciones

Entonces eso no es tan malo, pero digamos que en lugar de tener dos ecuaciones y dos variables, teníamos siete ecuaciones y siete variables. ¡Esto se pone mucho más complicado! Tengo x s, y s, z s, w s, a s, b sy c s, y si quisiera intentar resolver esto, sería un gran dolor de cabeza escribir todas esas letras diferentes cada vez.

Partes de la matriz

Pero si, en cambio, sacamos todas las letras y las ponemos en un gráfico grande, podemos reducir mucho del trabajo que tenemos que hacer. Ponemos esta tabla de números en lo que llamamos paréntesis . Son como paréntesis al cuadrado. Y está organizado en filas y columnas . Cada fila representa una de las ecuaciones originales de nuestro problema, y ​​cada columna representa todos los diferentes coeficientes (números delante de las variables) que estaban en una variable en particular. Entonces, todos los números en la primera columna son todos los diferentes coeficientes que estaban delante de la x s, por ejemplo.


Fila de una matriz
Fila de una matriz

Columna de una matriz
Columna de una matriz

Todavía podemos hacer el mismo tipo de cosas. Todavía podemos usar el método de eliminación y multiplicar toda la ecuación superior por 2, que luego convierte toda mi nueva matriz en esto. Y de nuevo, todavía podemos sumar filas para eliminar variables. Agregar esta fila superior a esta segunda fila elimina mis x s.

Como puede ver, este proceso aún puede llevar bastante tiempo, por lo que una matriz no necesariamente lo hace fácil, pero lo hace más fácil. También nos permite decirle a una computadora cómo hacer esto, por lo que las matrices y el álgebra lineal aparecen mucho en la programación de computadoras porque es muy fácil decirle a la computadora qué es esta gran cuadrícula de números y luego la computadora puede hacer todo el proceso. para ti en unos segundos.

Sumar y restar matrices

Entonces, una vez que nos acostumbramos a lidiar con estas cuadrículas de números, podemos comenzar a hacer cosas cada vez más complejas con ellas. Podemos sumarlos siempre que el número de filas y el número de columnas sean iguales, podemos sumar dos matrices simplemente sumando los números que están en los mismos lugares. Puedo sumar el 2 y el 4 porque están en la parte superior izquierda, y obtengo mi nuevo número superior izquierdo como 6. Puedo sumar los números superior derecho (-3 y -2) juntos y obtener -5. Puedo agregar todas las entradas individuales y terminar con mi nueva matriz.


Ejemplo de suma de matrices
Ejemplo de adición de matrices

Puedo restar exactamente de la misma manera. Nuevamente, simplemente restamos * los números que están en los lugares correspondientes, y siempre que las matrices tengan el mismo número de filas y columnas, terminaremos con una nueva matriz que se ve exactamente del mismo tamaño. (* incorrección en el audio; transcripción corregida)

Multiplicar matrices

Incluso podemos multiplicar matrices. Aquí es donde comienza a complicarse más. El número de columnas en la primera matriz debe ser el mismo que el número de filas en la segunda matriz. Es un proceso de multiplicar la primera fila en la primera matriz con la primera columna en la segunda matriz, una entrada a la vez, y luego agregar los productos resultantes en una entrada. La entrada superior izquierda de mi matriz final sería 5.


Multiplica la primera fila de la primera matriz por la primera columna de la segunda matriz.
Multiplicación de matrices

Puedo hacerlo de nuevo con la primera fila en la primera matriz con la segunda columna en la segunda matriz; 2 * 5 + 4 * -3 + 1 * -3 termina con un -5 en la esquina superior derecha. Continúo este proceso para cada fila en la primera matriz con cada columna en la segunda matriz, y termino con esta matriz resultante, que no es del mismo tamaño, pero tiene el número de filas de la primera con el número de columnas del segundo, y obtenemos esto.


Solución al problema de multiplicar matrices
Solución de multiplicación con matrices

Resumen de la lección

Entonces, para revisar, las matrices son cuadrículas de números divididos en filas y columnas y entre paréntesis. Son el centro de toda una rama de las matemáticas llamada álgebra lineal . De manera más simple, se usan para resolver sistemas de ecuaciones con muchas variables, pero rápidamente se vuelven más complejos y terminan siendo útiles en todo tipo de campos.