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¿Qué es una secuencia matemática?

Publicado el 18 septiembre, 2020

¿Qué son las secuencias?

Sentado en mi primera clase universitaria de matemáticas en UC Santa Cruz, el profesor me preguntó, ¿qué son las matemáticas? Realmente nunca había pensado en eso antes y no tenía una respuesta, pero finalmente la clase llegó a una definición que realmente me gustó y nunca olvidé: las matemáticas son el estudio de patrones. Si bien esto es cierto para todas las áreas de las matemáticas, la rama de las matemáticas donde esto es más obvio se llama secuencias.

Una secuencia es solo un conjunto de cosas (generalmente números) que forman un patrón. Podríamos tener una secuencia simple como 1, 2, 3, 4, 5… o una más complicada como 5, 10, 20, 40, 80… Pero no importa si la secuencia es simple o complicada, tener un conjunto acordado de el vocabulario va a ser muy importante.

Mirando nuestros dos primeros ejemplos, notarás que pongo un ‘…’ al final de la secuencia. Esto implica que cada secuencia es una secuencia infinita y nunca se detiene. Pero también podemos tener secuencias finitas que solo tienen un número determinado de entradas; -10, -5, 0, 5 por ejemplo. La secuencia se detiene después de llegar a la cuarta entrada.

Comprensión de términos en una secuencia


La letra a seguida de un subíndice representa cada término de la secuencia.
Términos de secuencia

Otra de las cosas más básicas que debe entenderse sobre las secuencias es que están compuestas por términos . Nuevamente, volviendo a uno de nuestros primeros ejemplos, 5, 10, 20, 40, 80…, el patrón comienza con el número 5, lo que significa que el primer término es 5. Eso hace que el segundo término sea 10, el tercer término 20 , el cuarto término 40, y así sucesivamente. Observe que estoy usando la letra ay luego un ‘subíndice’ para describir cada término. Eso significa que un subíndice 2 representa el segundo término y un 3 representa el tercer término y un 4, el cuarto término, y así sucesivamente. Esto significa que un 25 sería el término número 25 e incluso podemos decir un subíndice nes el término ‘enésimo’, y lo usaremos para referirnos a cualquier término genérico. Entonces me dará una regla en la que puedo sustituir un número que me dirá cualquier término que desee. Veremos cómo llegar a estas reglas genéricas para el ‘enésimo’ término en lecciones posteriores.

Clases de secuencias

Si bien esta lección trata más sobre el vocabulario detrás de las secuencias, también vale la pena mencionar algunas de las especiales.

Las dos secuencias más comunes se denominan secuencias aritméticas y geométricas y , de hecho, todos los ejemplos que hemos visto hasta ahora pertenecen a una de estas dos categorías. Las secuencias aritméticas son patrones formados con sumas repetidas. Nuestro ejemplo 1, 2, 3, 4, 5… y así sucesivamente es un ejemplo de una secuencia aritmética porque continuamente estábamos sumando 1 para obtener cada término nuevo.

Las secuencias geométricas son dos secuencias que se forman con multiplicaciones repetidas. Entonces, 5, 10, 20, 40, 80… y en adelante, fue geométrico porque simplemente multiplicamos por 2 para encontrar cada término siguiente.

La secuencia de Fibonacci

Una de las secuencias más famosas se llama secuencia de Fibonacci . Esta secuencia se encuentra agregando las dos entradas anteriores para llegar a la siguiente. Si definimos un 1, el primer término, como 0 y un 2 como 1, entonces un 3 es solo 0 + 1, que es 1; y luego un 4 es 1 + 1, que es 2; entonces un 5 es 1 + 2, que es 3, y luego 5, 8, 13, 21, 34… y esta es una secuencia infinita.


La secuencia de Fibonacci se ve a menudo en la naturaleza.
Forma de secuencia de Fibonacci

La razón por la que esta secuencia se ha vuelto tan conocida es que en realidad se observa en la naturaleza. Por ejemplo, hacer cuadrados con longitudes de lado iguales a los términos en la secuencia y luego dibujar una curva a través de esos cuadrados nos da la forma de una concha muy común que podría encontrar en la playa. También es el caso de que las flores se encuentran con mayor frecuencia con el número de pétalos que es igual a una de las entradas en la secuencia. Incluso los girasoles, piñas y piñas tienen patrones en espiral que coinciden con la secuencia de Fibonacci. ¡Está realmente en todas partes!

También es un ejemplo de una secuencia recursiva , que en términos generales significa cualquier secuencia que depende de los valores de los términos anteriores.

Resumen de la lección

Para repasar: una secuencia es simplemente un patrón de números. Puede haber secuencias finitas e infinitas . Cada entrada en una secuencia se llama término , y se denota con la letra ay un subíndice que dice qué término es. Las secuencias aritméticas se forman con sumas repetidas, mientras que las secuencias geométricas se forman con multiplicaciones repetidas. Por último, la secuencia de Fibonacci es una secuencia bien conocida que es un ejemplo de secuencia recursiva porque se basa en las entradas anteriores para determinar la siguiente.

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