¿Qué son los números irracionales? – Definición y ejemplos

¿Qué son los números irracionales?

Fuera de las matemáticas, usamos la palabra “irracional” para significar loco o ilógico; sin embargo, para un matemático, irracional se refiere a un tipo de número que no se puede escribir como una fracción (razón) usando solo números de conteo positivos y negativos (enteros). Por ejemplo, puede escribir el número racional 2.11 como 211/100, pero no puede convertir el número irracional ‘raíz cuadrada de 2’ en una fracción exacta de ningún tipo.

Sin embargo, no asuma que los números irracionales no tienen nada que ver con la locura. La leyenda sugiere que, alrededor del año 500 a. C., los pitagóricos, un grupo de filósofos griegos, lanzaron por la borda a un tipo llamado Hippasus desde un barco, como castigo por demostrar que la raíz cuadrada de 2 es irracional.

Un truco mental que puede utilizar para visualizar si un número es racional o irracional es pensar en el número en términos de cortar pizzas. Por ejemplo, si un número es racional, puede imaginarse cortando pizzas en porciones del mismo tamaño descritas por el denominador de una fracción y luego comiendo la cantidad de porciones descritas por el numerador. Por ejemplo, se puede encontrar 6/8 cortando una pizza en 8 porciones y luego consumiendo 6 de esas porciones.

Para un número como 3,95, imagina cortar pizzas en cien rebanadas cada una y luego tomar 395 rebanadas. Aunque probablemente nunca tendrás tanta hambre, puedes imaginarlo. Un número negativo como -3/10 es un poco más difícil, pero aún podría visualizarlo si corta pizzas en décimas y luego devuelve 3 rebanadas.

Es imposible pensar en la raíz cuadrada de 5 de esa manera. Si bien puede haber otra forma de averiguar cómo obtener exactamente la raíz cuadrada de 5 pizzas, no puede hacerlo cortando la pizza en un número determinado de porciones iguales y luego tomando la parte correcta de ellas.

En la mayoría de los casos, lo mejor que podemos hacer para visualizar un número irracional es aproximarlo con un número decimal.

Veamos algunos números irracionales comunes.

Raíces

Algunos de los números irracionales más comunes son raíces, como la raíz cuadrada de 5 o la raíz cúbica de 7. Las raíces cuadradas, raíces cúbicas y raíces de cualquier potencia superior suelen ser irracionales, siempre que no se puedan simplificar en una forma en que el símbolo de radical (raíz cuadrada) desaparece.

A veces escribimos números irracionales aproximadamente como números decimales, pero nunca podemos hacerlo exactamente porque los lugares decimales son indefinidos y nunca caen en un patrón repetitivo.

Como demostró el desafortunado Hipaso, no hay forma de escribir la raíz cuadrada de 2 como una fracción exacta. Es irracional (Raíz cuadrada de 2 = 1.41421356 …).

Por otro lado, -5.2 se puede escribir como -52/10, lo que significa que es un número racional, e incluso los pitagóricos no emitirían una sentencia de muerte sobre él.

Pi

La circunferencia de un círculo dividida por su diámetro es siempre un poco más de 3. De hecho, el resultado de esta división es un número irracional al que comúnmente nos referimos como pi.

Símbolo de pi

Pi es parte de un grupo de números irracionales especiales que a veces se denominan números trascendentales . Estos números no se pueden escribir como raíces, como la raíz cuadrada de 11.

Mucha gente recuerda los primeros dígitos de pi: 3.14. Recordar esos dígitos puede ser útil, pero no es exacto ya que pi continúa indefinidamente (pi = 3,141592 …). A partir de 2011, la gente ha descubierto más de 5 billones de dígitos de pi, pero nunca llegaremos al final, ¡porque no hay fin!

A veces puede ver pi escrito como 22/7; sin embargo, tenga en cuenta que, como 3.14, 22/7 es solo una aproximación. Está cerca de pi, pero no es igual. No hay fracción que sea exactamente igual a pi.

Número de Euler ( e )

Para los matemáticos, e es más que una simple letra del alfabeto. El número irracional e se llama formalmente constante de Napier , pero comúnmente se le llama número de Euler , después de Leonhard Euler (pronunciado ‘Oiler’). Al igual que pi, e ocurre comúnmente en el mundo real.

Fórmula para e

Brevemente, e es el resultado de agregar un poquito a 1 y luego elevarlo a una potencia realmente grande. El valor resultante (2.7182818284 …) es irracional. Los decimales continúan para siempre sin caer en un patrón repetitivo.

E es un número muy útil en el mundo de la ciencia y los negocios. Nos ayuda a calcular cómo crecen las cosas con el tiempo: la cantidad de bacterias en una placa de Petri, el tamaño de las poblaciones de conejos o el interés que gana su dinero en una cuenta de ahorros.

Fi

Otro número irracional trascendental se deriva de las proporciones de los lados de ciertas formas geométricas. A veces se le llama proporción áurea , media áurea o proporción divina , y está representada por la letra griega phi .

Símbolo de phi

La proporción de lados más largos a más cortos de una estrella de cinco puntas ( pentagrama ) representa phi de varias formas, como se muestra en los colores de la siguiente imagen. Si divide cualquier lado de color por el siguiente lado de color más corto, obtendrá phi.

Pentagrama

Al igual que los otros números irracionales que hemos discutido, los lugares decimales de phi son eternos (phi = 1.618033988 …). A pesar del hecho de que se basa en una proporción, phi no se basa en una proporción de números enteros, por lo que no podría hacer porciones de pizza exactas con ella.

Ha habido muchas afirmaciones de que la proporción áurea aparece en la naturaleza, el cuerpo humano, el arte y la arquitectura. La proporción áurea se considera muy agradable para el ojo humano, como lo muestran la Mona Lisa, nuestra galaxia y las pirámides egipcias, todas las cuales tienen dimensiones cercanas a phi.

Resumen de la lección

Revisemos. Los números irracionales son aquellos que no se pueden escribir como una fracción compuesta solo por números enteros. Piense en una pizza: es un número racional si puede cortar la pizza en porciones del mismo tamaño determinadas por el denominador y luego comerse la cantidad de porciones determinada por el numerador. Es un número irracional si no puedes. Los números irracionales comunes incluyen raíces, pi, phi y el número de Euler .

Los resultados del aprendizaje

Al completar esta lección, debería poder:

• Definir números irracionales
• Recuerda lo que es un número trascendental
• Describe cuatro tipos de números irracionales comunes.