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Rodrigo Ricardo

Relación de amortiguamiento: definición y fórmula

Publicado el 18 marzo, 2022

¿Qué es una oscilación armónica amortiguada?

Cuando éramos niños, muchos de nosotros nos columpiábamos en los columpios del patio de recreo. El movimiento hacia adelante y hacia atrás de un columpio se llama oscilación . Encontramos movimiento oscilatorio en muchos sistemas en la vida diaria. Además de los columpios del patio de recreo, los ejemplos comunes incluyen el péndulo de un reloj de pie y la suspensión de un automóvil.

Ahora, imagina que estás empujando a alguien en un columpio. En ausencia de fricción, como la resistencia aerodinámica o la fricción en los acoplamientos, un solo empujón es suficiente para que el columpio siga funcionando para siempre. Sin embargo, en realidad, el movimiento es oscilatorio, pero la amplitud de la oscilación se reduce con el tiempo y finalmente llega a cero. Este tipo de oscilación se denomina oscilación armónica amortiguada .

Ecuación

Para un sistema mecánico, es fácil comprender las oscilaciones armónicas amortiguadas mediante el estudio de un sistema resorte-masa-amortiguador. Como sugiere el nombre, un sistema resorte-masa-amortiguador de un solo grado de libertad (SDOF) consta de un resorte, una masa y un amortiguador. El movimiento se define por una sola coordenada independiente, como el tiempo.


Sistema resorte-masa-amortiguador de un solo grado de libertad. m es la masa, k es la constante de resorte y c es el coeficiente de amortiguamiento.

En este sistema, m denota la masa en movimiento, k denota la constante de resorte y c es el coeficiente de amortiguamiento. La constante del resorte representa la fuerza ejercida por el resorte cuando se comprime una unidad de longitud. El coeficiente de amortiguamiento es la fuerza ejercida por el amortiguador cuando la masa se mueve a la unidad de velocidad.

La masa es libre de moverse a lo largo de un eje, pero cada vez que la masa se mueve, el resorte y el amortiguador resisten su movimiento. En la figura ilustrada, imagine ahora que la masa se mueve hacia abajo una cierta distancia. Comprime el resorte y mueve el amortiguador la misma distancia. El resorte almacena y libera energía durante un ciclo. El amortiguador solo absorbe energía y no la devuelve a la masa.

La ecuación del sistema se denomina ecuación diferencial ordinaria de segundo orden y es:

nulo

Aquí,

frecuencia natural

Y se llama la frecuencia natural en radianes, y

relación de amortiguamiento

Y se llama la relación de amortiguamiento .

La frecuencia natural es la frecuencia de oscilación del sistema si es perturbado (golpeado) desde el reposo. Piensa en un diapasón: si lo golpeamos contra una superficie, el diapasón vibra a una frecuencia fija. Esta frecuencia es la frecuencia natural del diapasón.

Amortiguación insuficiente, excesiva y crítica

La relación de amortiguamiento determina la forma en que las oscilaciones del sistema llegan a cero. Para comprender la relación de amortiguamiento, usemos una analogía de las puertas.

Primero, consideremos las puertas batientes como las que se ven en las cocinas de los restaurantes o en las películas del viejo oeste. Cuando alguien empuja la puerta para abrirla y la suelta, las puertas se abren hacia atrás y pasan el resto apuntando hacia la otra dirección. Este movimiento de ida y vuelta ocurre varias veces antes de que las puertas se detengan por completo. Este tipo de comportamiento oscilatorio ocurre cuando el sistema tiene una relación de amortiguamiento menor que 1. Este tipo de sistemas se denominan sistemas subamortiguados .

A continuación, considere una puerta en un edificio moderno con un amortiguador adjunto a la esquina superior. Cuando esta puerta se abre y se suelta, vuelve lentamente a una posición cerrada y no oscilará de un lado a otro. Este sistema se llama sistema sobreamortiguado y tiene una relación de amortiguamiento mayor que 1.

En el medio, cuando la relación de amortiguamiento es 1, el sistema se llama críticamente amortiguado . Esto sería como una puerta sin amortiguador, cerrándose rápidamente para descansar sin oscilar.

La relación de amortiguamiento también se puede representar mediante la relación entre el coeficiente de amortiguamiento real y el coeficiente de amortiguamiento crítico. Entonces,

nulo

donde,

nulo

Ejemplo

Veamos un ejemplo. Un resorte-masa-amortiguador SDOF tiene las siguientes características: m = 10 kg, k = 100 N/ m y c = 1 Ns/ m . (Recordemos que Ns es el Newton segundo, equivalente a un kilogramo-metro por segundo (kg * m/s)).

¿Cuál es su relación de amortiguamiento?

Coeficiente de amortiguamiento crítico = 2 x la raíz cuadrada de (kxm) = 2 x la raíz cuadrada de (100 x 10) = 63,2 Ns/m

Dado que el coeficiente de amortiguamiento real es 1 Ns/ m , la relación de amortiguamiento = (1/63,2), que es mucho menor que 1. Por lo tanto, el sistema está subamortiguado y oscilará de un lado a otro antes de detenerse.

Resumen de la lección

Cuando el movimiento es oscilatorio, la amplitud de la oscilación se reduce con el tiempo debido a la fricción, y finalmente llega a cero. Este tipo de oscilación se denomina oscilación armónica amortiguada . Esto se puede entender utilizando un sistema resorte-masa-amortiguador de un solo grado de libertad (SDOF) que consta de un resorte, una masa y un amortiguador.

La ecuación que define el movimiento de un sistema de este tipo es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden, en la que el comportamiento del sistema depende de la masa en movimiento, la constante del resorte y el coeficiente de amortiguamiento.

nulo

Un sistema amortiguado vuelve al reposo de diferentes maneras, lo cual está determinado por la relación de amortiguamiento . Una relación de amortiguamiento:

  • mayor que 1 indica un sistema sobreamortiguado , que vuelve al reposo lentamente sin oscilaciones.
  • menos de 1 indica un sistema subamortiguado , que vuelve al reposo de forma oscilatoria.
  • igual a 1 es un sistema críticamente amortiguado , que vuelve al reposo rápidamente sin oscilar.

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