Relación de Poisson: definición y ecuación
Respuesta estresante
Cuando estira una banda elástica, puede notar que se vuelve más delgada en el centro. Esto es cierto para la mayoría de los materiales. A medida que aplica fuerza en una dirección, hay una respuesta proporcional en otra.
Siméon Poisson, un matemático francés, notó este efecto y lo describió usando una razón. De hecho, creía que la proporción sería igual para cualquier tipo de material, pero los experimentos han demostrado que la proporción que lleva su nombre es única para cada material diferente.
La relación de Poisson es una constante material que relaciona la tensión en una dirección con la deformación elástica en otra. El estrés describe una fuerza externa aplicada a un material y la deformación mide el cambio de forma como resultado de esa fuerza.
La deformación vertical se calcula como la diferencia proporcional en L (la longitud), y la deformación horizontal se calcula de la misma manera utilizando la diferencia radial (d). Llamamos a la longitud y diámetro originales L y d, ya las nuevas medidas L’ y d’ respectivamente.
La deformación vertical se muestra aquí: ε lat = (L’ – L)/L, y la deformación a lo largo de la dirección radial es ε long = (d’-d)/d. La relación de Poisson es el negativo de lo siguiente: ε largo dividido por ε lat .
La comprensión de Poisson de esta relación se basó en experimentos realizados en ese momento con varillas de latón. Se había observado que a medida que se tiraba de la varilla en dirección axial, su radio disminuía. Podemos calcular valores sin unidades que miden la tensión en las direcciones axial y radial, o hacia afuera desde el centro, para estimar la tensión que le está pasando al cable.
La razón negativa de estos dos valores es lo que ahora llamamos razón de Poisson. Reconoció que para la mayoría de los materiales, aplicar tensión en una dirección provocaba una respuesta opuesta en otra dirección. Por eso multiplicó su razón por -1 para asegurarse de que el valor final fuera positivo.
Ejemplo: un cubo comprimido
Considere un cubo cuyas longitudes de lado son todas iguales a 4 pulgadas. Supongamos que aplicamos una fuerza de compresión hacia abajo en la dirección z, o en la parte superior del cubo, y pudimos encoger el lado a 3,99975 pulgadas.
Si esta tensión hizo que la longitud de los lados en la dirección x/y se expandiera a 4,0001 pulgadas, ¿podemos determinar la relación de Poisson para este material? ¿Cuánto cambio esperaríamos si el cubo se comprimiera a la mitad de su altura original?
Primero, debemos calcular las deformaciones en las dos direcciones. La deformación hacia abajo viene dada por:
ε 1 = (L’ – L ) / L
ε1 = ( 3.99975 – 4 ) / 4
ε1 = -6,25 x 10^-5
La deformación hacia el exterior se puede calcular de la siguiente manera:
ε 2 = ( re’ – re ) / re
ε 2 = ( 4.0001 – 4 ) / 4
ε2 = 2,5 x 10^-5
Entonces, la relación de Poisson es simplemente:
ν = – ε 1 / ε 2
= 0,4
Determinación del efecto de compresión
Como esto es constante, ahora podemos determinar el efecto si hubiéramos comprimido el cubo a 2/3 de su altura original. Si ese fuera el caso, entonces &epsilon 1 = -1/3. Por lo tanto, esperaríamos que ε_2 fuera el siguiente:
ε 2 = – ε 1 / ν
ε2 = -(-1/3) / 0.4
ε2 = 10/12 = 5/6
Ahora podemos resolver para d’ (el nuevo ancho del cubo):
1.25 = (d’ – 4 ) / 4
d’ = (5/6)*4 + 4 = 22/3
Entonces, si comprimimos este cubo a una altura de 2, debería expandirse a un ancho de 22/3 pulgadas en las direcciones x/y.
Excepciones a la Regla
Si bien la mayoría de los materiales tienen una relación de Poisson positiva, hay algunas excepciones y los científicos buscan constantemente más. Es raro encontrar un material que se expanda lateralmente cuando se comprime longitudinalmente, pero es posible.
Resumen de la lección
Una vez más, la relación de Poisson es una constante material que relaciona la tensión en una dirección con la deformación elástica en otra. El estrés describe una fuerza externa aplicada a un material. La tensión mide el cambio de forma como resultado de esa fuerza. Por lo tanto, la relación de Poisson es una relación negativa de deformaciones. Las proporciones positivas implican una relación inversa entre las deformaciones. La deformación vertical se calcula como la diferencia proporcional en L (la longitud). La deformación horizontal se calcula de la misma manera usando la diferencia radial (d). La longitud y el diámetro originales son L y d, y las nuevas medidas son L’ y d’.
La deformación vertical es la siguiente: ε lat = (L’ – L)/L, y la deformación a lo largo de la dirección radial se ve aquí: ε long = (d’-d)/d. La relación de Poisson es el negativo de lo siguiente: ε largo dividido por ε lat .
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