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Relaciones proporcionales entre dos cantidades

Publicado el 14 noviembre, 2020

Relaciones proporcionales

¿Tienes un amigo que pueda afectar tu estado de ánimo? Siempre que ella está despierta, tú estás despierta. Siempre que ella está deprimida, tú estás deprimida. Una relación proporcional entre cantidades se parece mucho a eso. Por ejemplo, imagina una colmena que tiene muchas abejas. Cada una de esas abejas tiene seis patas. Si quitamos la mitad de las abejas, solo quedarán la mitad de patas en la colmena. Existe una relación proporcional entre el número de abejas y el número de patas de abeja en esa colmena.

Una relación proporcional que existe entre dos valores de x y y cuando ellos se pueden expresar en la forma general y = kx , donde k es la constante de proporcionalidad.

Nuestro ejemplo de la colmena podría estar representado por y = 6 x , donde x es el número de abejas, y es el número de patas y k es 6, ya que cada abeja tiene 6 patas. Si duplicamos x , entonces y también se duplicará, y si dividimos y entre x , entonces y / x siempre debería ser 6.

Otra forma de decir eso es que si dos valores son proporcionales, entonces dividirlos entre sí siempre producirá la misma proporción. Esta razón será la constante k , que se puede expresar como fracción o decimal.

Prueba de sabor para proporcionalidad

Supongamos que está haciendo limonada y decide hacer una prueba de sabor para determinar si la cantidad de azúcar que necesita para la limonada perfecta es proporcional a la cantidad de jugo de limón. Una receta requiere 5 tazas de azúcar para la primera taza de jugo de limón, pero ¿eso significa que debe seguir agregando 5 tazas de azúcar por cada taza adicional de jugo de limón? En otras palabras, ¿la proporción de azúcar y jugo de limón debería ser siempre la misma, sin importar cuánta limonada esté haciendo?

Estás usando 2 tazas de jugo de limón, por lo que si las cantidades enumeradas en la receta son proporcionales, necesitarás agregar otras 5 tazas de azúcar para esa segunda taza de jugo de limón, es decir, 10 tazas de azúcar en total. Decide seguir la receta para la primera taza y luego agrega solo 1 taza de azúcar para la segunda taza de jugo de limón, es decir, 6 tazas de azúcar en total. Lo mezcla todo y la prueba de sabor casi deja sus labios en un fruncimiento permanente. Finalmente, y después de muchas pruebas de fruncir el ceño, te das cuenta de que sí, realmente necesitas usar 10 tazas de azúcar por 2 tazas de jugo de limón. El azúcar y el jugo de limón son proporcionales.

Puede expresar la relación proporcional de la receta como s = 5 l , donde s es azúcar y l es jugo de limón. Observe que su constante de proporcionalidad es 5. Esto solo significa que por cada taza de jugo de limón debe necesitar 5 tazas de azúcar. Por ejemplo, usaría 25 tazas de azúcar por 5 tazas de jugo de limón.

Prueba de proporcionalidad en bicicleta

Si dos valores son proporcionales, entonces hay una tasa constante a la que ambos cambian. Supongamos que está montando una bicicleta con velocímetro y quiere saber si su distancia de frenado es proporcional a la velocidad con la que iba antes de aplicar los frenos. En otras palabras, si vas el doble de rápido, ¿también te tomará el doble de distancia para detenerte?

Configuraste la prueba en un estacionamiento. Pones una línea de cinta adhesiva en el pavimento, en el medio, y conduces hasta el otro extremo. Para cada carrera, pisa los frenos justo cuando llega a la altura de la cinta. Estos son los resultados de cada una de sus ejecuciones que aparecen en esta tabla:

Velocidad Distancia de frenado Proporción
5 mph 9 pies 5/9
10 mph 20 pies 20/10
15 mph 37 pies 15/37

Entonces, ¿la velocidad y la distancia de frenado tienen una relación proporcional? Para resolver esto, simplemente compare las proporciones de cada carrera, usando la velocidad de la bicicleta como numerador y la distancia de frenado como denominador. Si las dos cantidades son proporcionales, su relación nunca debería cambiar.

Su primera proporción es 5/9, o aproximadamente 0,55. El segundo es 10/20 o 0,5. El tercero es 15/37, o aproximadamente 0,41. Vaya, la relación definitivamente está cambiando, lo que significa que estas dos cantidades definitivamente no son proporcionales.

Encontrar el otro valor

Si sabe que dos cantidades son proporcionales, entonces puede encontrar la constante de proporcionalidad dividiendo una cantidad por la otra. Si conoce el valor de una cantidad y la constante de proporcionalidad, siempre puede encontrar el valor de la otra cantidad.

Volvamos a nuestro ejemplo de la colmena, donde el número de abejas y el número de patas de abeja sigue la relación proporcional y = 6 x (cada abeja tiene 6 patas).

Diga que sabe que hay 45 abejas en la colmena. ¿Cuántas patas de abeja se escabullen por esa colmena? El número de patas y es siempre 6 veces el número de abejas x , entonces 45 * 6 = 270 patas.

También puede trabajar al revés. Si solo hay 180 patas presentes en la colmena, ¿cuántas abejas hay? Simplemente divida el número de patas por la constante de proporcionalidad de 6 para obtener 30 abejas.

¿Y si no conoces la constante? Todo lo que necesita es un par de valores. Toma el número de patas de abeja, divídelo por el número de abejas y (¡voilá!) Tendrás tu constante. Tanto 270/45 como 180/30 nos darán esa proporcionalidad constante de 6.

Resumen de la lección

Dos cantidades tienen una relación proporcional si se pueden expresar en la forma general y = kx , donde k es la constante de proporcionalidad. En otras palabras, estas cantidades siempre mantienen la misma proporción. Es decir, cuando divide cualquier par de los dos valores, siempre obtiene el mismo número k . Ambas cantidades también cambian al mismo ritmo: si x se duplica, entonces y se duplicará, y así sucesivamente. Siempre que conozca un valor y la constante de proporcionalidad o un par de valores, siempre podrá encontrar el otro valor.

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