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Representación gráfica de funciones básicas

Publicado el 3 noviembre, 2020

Mapas y gráficos


La latitud y la longitud nos ayudan a identificar un solo punto en un mapa con solo un conjunto de números.
latitud y longitud

¿Alguna vez ha comparado mapas de hace siglos con Google Earth? ¡Los chicos en ese entonces estaban muy lejos! Quiero decir, mira a este tipo. Dice que California es una isla. Bueno, supongo que realmente no tenían GPS para darles la latitud y la longitud cuando estaban mapeando las costas. La latitud y la longitud son importantes porque dan las coordenadas de cada punto en un mapa; le permiten identificar un solo punto con solo un conjunto de números: una latitud y una longitud. Con una latitud y una longitud, puede identificar cualquier ubicación del mundo. Por ejemplo, San Francisco está a 37 grados al norte del ecuador y 122 grados al oeste de Inglaterra. No hay otra ciudad que se encuentre exactamente en esta latitud y longitud.

En matemáticas, a menudo utilizamos un plano cartesiano como nuestro mapa, y X e Y. puntos en lugar de longitud y latitud. Dibujamos un mapa matemático con un eje x , que es como el ecuador, y un eje y perpendicular , que es como el primer meridiano, esa cosa que atraviesa Inglaterra. Luego, podemos trazar cualquier punto en este gráfico o mapa identificando su ubicación única, su longitud y latitud, si lo desea. Así que cada punto tiene una ubicación x , definida como la distancia desde el eje y . La x-location va a tener un valor positivo si se va a la derecha de la Y eje x y un valor negativo si está a la izquierda de la Y eje x. El propio eje y está en x = 0. Este punto también tiene una ubicación y ; esta es la distancia desde el eje x . Esto es como qué tan lejos al norte estás del ecuador. Se le da un valor positivo si está por encima del eje x y un valor negativo si está por debajo del eje x . Este eje x se define en y = 0. Esto significa que podemos trazar cualquier punto representándolo en lo que se llama un par ordenado: ( x , y). Por ejemplo, podemos trazar el punto (5,4), que es un par ordenado. (5,4) es donde x = 5 e y = 4. Así que voy a contar 5 desde el eje y , y voy a contar 4 desde el eje x .


Un plano cartesiano es como un mapa que contiene puntos xey en lugar de latitud y longitud.
plano cartesiano

Pares y cuadrantes ordenados

Puede hacer esto con casi cualquier punto, como (3,1). Eso es 3 hacia la derecha y 1 hacia arriba. El punto (-1,0) es 1 a la izquierda y 0 hacia arriba. Solo recuerde que su primer número lo moverá de izquierda a derecha, y su segundo número lo moverá hacia arriba y hacia abajo. El punto (2, -2) me va a mover 2 hacia la derecha y 2 hacia abajo. El punto (0,0) es donde la x y Y ejes se encuentran. Eso tiene un nombre realmente especial, el origen . Alrededor del origen, separados por los ejes x e y , están los cuatro cuadrantes: I, II, III y IV.

El primer cuadrante es donde los valores de x e y son todos positivos; todos son mayores que cero. Así que esto sería como donde el hemisferio norte se encuentra con el hemisferio oriental. En el segundo cuadrante, todos los valores de x son negativos, porque estamos en el lado izquierdo del eje y , y todos los valores de y son positivos, porque estamos por encima del eje x . Esto es como donde se encuentran los hemisferios norte y oeste. En el tercer cuadrante, x <0 e y <0. Esto es como donde se encuentran los hemisferios sur y occidental. Finalmente, donde se unen los hemisferios este y sur, tenemos el cuarto cuadrante, donde x> 0 ey <0.

Por lo general, queremos trazar líneas y curvas, no solo puntos individuales. ¡Imagínese los conflictos con Canadá si solo pudiéramos trazar unos pocos puntos para representar nuestra frontera! En realidad, hay un número infinito de puntos infinitamente cercanos entre sí. Entonces, si hago zoom en el borde, puede parecer que hay puntos, pero esos puntos se tocan. Son continuos y representan una línea.

Funciones gráficas


Los 4 cuadrantes de una gráfica
cuadrantes

Lo mismo ocurre con las ecuaciones regulares, como y = 2 x . Hay un punto, y , para cada valor de x . Podemos trazar esta ecuación simplemente trazando un número de puntos, cada uno de los cuales satisface esta ecuación. Saquemos algunos de estos. Cuando x = 0, y = 0. Bueno, eso está en el origen. Cuando x = 1, y = 2. Cuando x = pi , que sigue siendo solo un número, y = 2 ( pi ). Si x = -1 / 3, y = -2 / 3. Todo lo que estoy haciendo es conectar diferentes valores de x y ver qué yes. Puedo trazarlos en un gráfico, y si trazo suficientes de estos puntos, puedo conectarlos con una curva suave.

Usamos la misma idea para ecuaciones como y = x ^ 2. Aquí, si x = 0, y = 0 satisface esta ecuación, porque 0 = 0. Nuevamente, solo vamos a pasar por el origen. Cuando x = 1, y = 1. Cuando x = 2, y = 2 ^ 2 o 4. Cuando x = 3, y = 9. Cuando x = -1, y = 1, y así sucesivamente. Puedo conectarlos con una curva suave y mi gráfico se parece a esto.

Podemos hacer esto para una función más compleja, como y = ( x – 1) ^ 3 – x ^ 2 + x + 2. Creemos una tabla de valores. Cuando x = -2, y = -31; así que eso es todo el camino hasta aquí. Cuando x = -1, y = -8; eso es aqui. En x = 0, y = 1, por lo que no pasaremos por el origen; (0,0) no satisface esto. Cuando x = 1, y = 2. Cuando x = 2, y = 1. Cuando x = 3, y = 4. Y cuando x = 4, y está hasta aquí en 17.

X y
-2 -31
-1 -8
0 1
1 2
2 1
3 4
4 17

Entonces puedo conectarlos con una curva suave y obtengo este tipo de estructura de bucle. Verá esto con bastante frecuencia cuando vea x ^ 3 = y .

A veces, querremos graficar algo como y = 4. Bueno, ¿qué es x en este caso? Busquemos pares ordenados que satisfagan esta ecuación. Bueno, cuando x = 0, y va a ser 4. Cuando x = 1, y = 4. Cuando x = -32, y = 4. Realmente no importa qué es x ; y siempre es 4. Esto nos dará una línea horizontal, porque x puede ser cualquier cosa, pero y siempre tiene que ser 4.


El origen es el punto en el que se cruzan los dos ejes.
origen

Resumen de la lección

Así que repasemos. Graficaremos ecuaciones y puntos, principalmente en un plano cartesiano, que es como nuestro mapa. Tenemos un eje x horizontal , que es como el ecuador, y un eje y vertical , que es como ese primer meridiano. Cada punto de nuestro plano tiene una coordenada representada por algún par ordenado de un valor de x y un valor de y . Esto es como un punto en un mapa que tiene una latitud y una longitud.

El origen es el punto donde se cruzan los dos ejes, por lo que está en (0,0). Además, los ejes dividen nuestro mapa o gráfico en cuatro cuadrantes diferentes: I, II, III y IV. Finalmente, si desea trazar una ecuación, debe crear un montón de pares ordenados que satisfagan esa ecuación. Luego, desea conectar esos pares ordenados usando una línea suave. Solo asegúrese de que los pares ordenados estén muy cerca uno del otro antes de conectarlos.

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