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Resolver problemas del mundo real utilizando la ley de los senos

Publicado el 1 octubre, 2020

Ley de los senos

La ley de los senos es una fórmula que te ayuda a encontrar la medida de un lado o ángulo de cualquier triángulo. Como sabe, nuestras funciones trigonométricas básicas de coseno, seno y tangente se pueden usar para resolver problemas que involucran triángulos rectángulos. Pero, ¿qué pasa con otros triángulos? Ahí es donde entra en juego la ley de los senos. Esta ley trigonométrica te permite resolver problemas que involucran cualquier tipo de triángulo con el que te encuentres. Siempre que tu forma sea un triángulo, puedes usar la ley de los senos para ayudarte a resolver el problema. Echemos un vistazo a esta fórmula. Se parece a esto:

ley de los senos

Las letras pequeñas un , b , y c presentarse a los lados de nuestro triángulo, y las grandes letras A , B , y C representan los correspondientes ángulos opuestos a estos lados. Entonces, el ángulo A es el lado opuesto a , el ángulo B es el lado opuesto b y el ángulo C es el lado opuesto c .

ley de los senos

Mire cuidadosamente la fórmula. ¿Ves que en realidad tiene tres partes? Tiene dos signos iguales que los separan. Debido a esto, podemos elegir qué dos partes vamos a utilizar. Si se trata de lados sólo una y B y sus correspondientes ángulos opuestos, entonces necesitamos sólo las dos primeras partes. Si se trata de partes de una y C y sus ángulos correspondientes, a continuación, sólo necesitamos la primera y tercera partes.

También mirando la fórmula, vemos que si estamos buscando un lado faltante, entonces necesitamos saber el ángulo opuesto del lado faltante junto con otro lado y su ángulo opuesto. Si estamos buscando un ángulo faltante, entonces necesitamos saber la medida del lado opuesto junto con otro ángulo y su lado opuesto.

Problemas del mundo real

¿Qué tipo de problemas puede ayudarnos a resolver esta útil ley trigonométrica? Cualquier problema que involucre triángulos. ¿Dónde entran en juego los triángulos en el mundo real? Bueno, piensa en una torre inclinada. Ahora imagínate a ti mismo de pie a cierta distancia de la torre. Alguien se te acerca y desesperadamente te pide ayuda. Hay alguien atrapado en el tercer piso de la torre inclinada. Necesitan saber cuánto tiempo se necesita de una escalera para poder llegar al tercer piso si colocan la escalera donde está parado. Si dibujaras este problema en papel, verías que obtienes un triángulo.

ley de los senos

Como tienes un triángulo, puedes usar la ley de los senos para ayudarte a resolverlo. Encontrarás problemas como este y otros problemas de triángulos en el mundo real. ¿Quieres ver cómo podemos solucionar este problema de la torre inclinada?

Ejemplo 1

Vamos a hacerlo:

Estás parado a 10 pies de distancia de cierta torre inclinada. Encuentre la longitud de la escalera que se necesita para llegar al tercer piso de la torre inclinada si la escalera se coloca donde está parado. El ángulo que forma la torre y el suelo es de 108 grados, y el ángulo que forma la torre en el tercer piso y la escalera será de 20 grados.

Empezamos por sacar primero nuestro problema. Dibujamos nuestro triángulo y lo etiquetamos con la información que se nos da.

ley de los senos

Bueno. Vemos que el lado que queremos encontrar es el lado de la escalera. Podemos etiquetarlo arbitrariamente con un . Debido a que estamos tratando con cualquier tipo de triángulo, no importa qué lado etiquetemos con a , b o c . Si etiquetamos el lado de la escalera como a , entonces nuestro ángulo A es 108, el ángulo opuesto a nuestro lado a . Podemos seguir adelante y etiquetar el 10 como lado b . Nuestro ángulo B es entonces 20.

En cuanto a lo que tenemos ahora, vemos que sólo necesitamos las dos primeras partes de nuestra ley de los senos para encontrar nuestra respuesta: un / sen A = b / sen B . La conexión de nuestros valores, obtenemos un / sen 108 = 10 / sen 20. El uso de álgebra para ayudarnos a resolver por una , obtenemos unos = (10 / sen 20) * sen 108 = 27,8. Hemos encontrado nuestra respuesta. La longitud de la escalera que se necesita es de 27,8 pies.

Ejemplo 2

Probemos con otro ejemplo:

Eres un carpintero a punto de cortar un triángulo de un trozo de madera. Quieres que el lado inferior del triángulo sea de 7,4 pulgadas. Desea que el lado izquierdo de la parte inferior sea de 12,5 pulgadas. El ángulo opuesto al lado inferior debe ser de 36 grados. ¿Cuál debe ser el ángulo opuesto al lado de 12,5?

De nuevo, seguimos adelante y sacamos nuestro problema.

ley de los senos

Queremos encontrar el ángulo x . Podemos etiquetarlo como el ángulo A . Nuestro lado a es entonces 12,5. Podemos etiquetar el 7,4 como lado b y el 36 como el ángulo B . Vamos a utilizar un / sen A = b / sen B . Conectando nuestros valores, obtenemos 12.5 / sin A = 7.4 / sin 36. Usando nuestras habilidades de álgebra nuevamente para resolver para A , obtenemos A = sin ^ -1 (12.5 * sin 36 / 7.4) = 83.1.

Ahora, podría pensar que esta es la única respuesta. Pero hay una cosa que su calculadora no le dice. Debido a que no se ha especificado nuestro tercer ángulo, puede ser cualquier cosa. Ahora imagina el lado 7.4 girando alrededor del punto a la izquierda. ¿Ves cómo puede cruzar nuestro tercer lado desconocido en dos lugares? Sí, cruza en el punto que hemos dibujado y también cruza en un punto más alto en nuestro tercer lado. Para encontrar este otro ángulo, tomamos 180 y restamos el ángulo que encontramos. En nuestro caso obtenemos 180 – 83,1 = 96,9. Entonces nuestra respuesta es 83.1 o 96.9 grados.

¿Cómo puede saber si su problema terminará con dos soluciones? Puede realizar la comprobación de balanceo que hicimos. Pregúntese: “¿Podemos girar el lado flexible para que vuelva a cruzar el otro lado?”

Resumen de la lección

Repasemos lo que hemos aprendido. La ley de los senos es una fórmula que te ayuda a encontrar la medida de un lado o ángulo de cualquier triángulo. Se escribe como un / sen A = b / sen B = c / sen C , donde a , b , y c son los lados de un triángulo y A , B , y C son los ángulos opuestos correspondientes. Para usar la ley de los senos, solo necesitamos dos partes. Si se trata de partes de una y bcon sus correspondientes ángulos opuestos, entonces solo necesitamos las dos primeras partes. Esta fórmula se puede utilizar para resolver cualquier tipo de triángulo.

Para encontrar un lado faltante, necesita saber la medida del ángulo opuesto junto con otro lado y su ángulo opuesto. Para encontrar un ángulo faltante, necesita conocer la medida del lado opuesto junto con otro ángulo y su lado opuesto. Al encontrar un ángulo faltante, es posible tener dos soluciones.

Para comprobar si tendrá dos soluciones, pregúntese si puede tomar un lado y balancearlo para formar otro ángulo con el otro lado. Si descubres que puedes hacer esto, entonces el otro ángulo se puede encontrar tomando 180 y restando el ángulo que encontraste en tu calculadora.

Los resultados del aprendizaje

Después de esta lección, debería poder:

  • Identificar la fórmula de la ley de los senos
  • Explica cómo usar esta fórmula para encontrar un lado faltante de un triángulo.
  • Describe cómo comprobar si tu problema arrojará dos soluciones.

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