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Resolver sistemas de ecuaciones lineales 3×3

Publicado el 24 noviembre, 2020

¿Qué es un sistema de ecuaciones lineales 3×3?

Para definir un sistema de ecuaciones lineales 3×3, necesitamos entender qué significa cada parte del término. Las ecuaciones lineales forman líneas rectas cuando se grafican. Tienen un grado de uno, lo que significa que las variables tienen un exponente no mayor que uno. Un sistema de ecuaciones tiene dos o más ecuaciones que se resuelven simultáneamente. Cuando un sistema de ecuaciones es 3×3, tiene tres ecuaciones y tres variables. El objetivo de resolver un sistema de ecuaciones es encontrar un valor para cada una de las variables que satisfaga todas las ecuaciones. En un sistema de ecuaciones lineales 3×3, necesitamos encontrar un valor para cada una de las tres variables que haga que cada ecuación sea verdadera.

Resolver con el método de sustitución

En el ejemplo, vemos cómo una expresión de una ecuación se puede sustituir por una variable en otra ecuación. El objetivo es tener una ecuación con una variable que podamos resolver. Una vez que encontramos el valor de una variable, podemos usarlo para resolver las demás.


Ejemplo de un sistema de ecuaciones lineales 3×3
system1

La primera ecuación nos dice que x es igual a la expresión 2 y + 1. Podemos sustituir esta expresión por x en las otras ecuaciones. La segunda ecuación se convierte en z = -3 (2 y + 1) = -6 y – 3. La expresión -6 y – 3 se puede sustituir por z en la tercera ecuación. Después de sustituir las expresiones por x y z , la tercera ecuación se convierte en (2 y + 1) + 3 y – (-6 y – 3) = 4.


Aplicar el método de sustitución
system2

Ahora que tenemos una ecuación con una sola variable, podemos resolver la variable y .


Resolviendo la variable y
system3

Como y = 0, podemos sustituirlo en las otras ecuaciones y resolver las otras variables. Para la primera ecuación, obtenemos x = 2 (0) + 1 = 1. Sustituyendo uno por x en la segunda ecuación, obtenemos z = -3 (1) = -3. Ahora hemos encontrado los valores de las tres variables.

Comprobando su solución

Siempre es una buena idea verificar su respuesta al resolver cualquier tipo de ecuación (o sistema de ecuaciones). Para verificar nuestras respuestas en el ejemplo anterior, necesitamos sustituir nuestras soluciones por las variables en cada ecuación. Si las ecuaciones son verdaderas, entonces sabemos que nuestras soluciones son correctas. Un ejemplo de una ecuación verdadera es 10 + 5 = 15. Si alguna de nuestras ecuaciones no es verdadera, como 10 + 5 = 12, entonces sabemos que nuestras soluciones no son correctas. En el ejemplo, encontramos que nuestras soluciones son: x = 1, y = 0 y z = -3. Sustituyémoslos en las ecuaciones.


Comprobando la solución
system4

Después de que los valores se sustituyen en las ecuaciones, podemos simplificarlos para ver si las ecuaciones son verdaderas. Las ecuaciones se simplifican a: 1 = 1, -3 = -3 y 4 = 4. Dado que todas las ecuaciones son verdaderas, sabemos que nuestras soluciones son correctas.

Resumen de la lección

Los sistemas de ecuaciones lineales constan de más de una ecuación. Las ecuaciones se resuelven simultáneamente para encontrar los valores de las variables. Los sistemas de ecuaciones que son 3×3 constan de tres ecuaciones y tres variables. El sistema se resuelve cuando se han encontrado los valores para cada variable. La solución se puede verificar sustituyendo los valores de las variables en las ecuaciones. Si todas las ecuaciones son verdaderas, entonces las soluciones son correctas.

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