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Resolver un sistema de ecuaciones sin solución

Publicado el 2 septiembre, 2021

Un sistema de ecuaciones sin solución

Suponga que va a montar un puesto de limonada y galletas. Está tratando de decidir cómo ponerle precio a cada artículo, y quiere saber si es posible ponerle un precio tal que 1 limonada y 2 galletas cuestan $ 4.00 y 3 limonadas y 6 galletas cuestan $ 18.00.

Decides usar las matemáticas para resolver esto. Representas el costo de una limonada con la variable x y el costo de una galleta con la variable y . Usando estas variables, representamos el primer escenario con la ecuación x + 2 y = 4, porque tenemos una limonada a x dólares y 2 galletas a y dólares cada una. Sumando el costo de estos juntos da $ 4,00. De manera similar, representamos el segundo escenario con 3 x + 6 y = 18. Por lo tanto, tiene las dos ecuaciones siguientes:

x + 2 y = 4

3 x + 6 y = 18

Este conjunto de ecuaciones se llama sistema de ecuaciones . Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones en las mismas variables. El conjunto de soluciones para un sistema de ecuaciones es el conjunto de todos los valores de las variables que hacen que todas las ecuaciones del sistema sean verdaderas. El conjunto de soluciones también se puede considerar como el conjunto de todos los puntos de intersección de las gráficas de cada una de las ecuaciones del conjunto. Por lo tanto, en nuestro problema del puesto de limonada, desea saber si este sistema de ecuaciones tiene solución.

Alerta de spoiler: no es así.

Les digo esto ahora, porque vamos a tratar de resolver sistemas sin solución, y este es un gran ejemplo para ilustrar las diferentes formas de intentar resolver este tipo de sistemas.

Un sistema de ecuaciones inconsistente es un sistema de ecuaciones que no tiene solución. Considere nuestro ejemplo. Este sistema no tiene solución, por lo que diríamos que es inconsistente. Veremos tres formas diferentes de identificar sistemas inconsistentes y usaremos nuestro ejemplo para ilustrar cada una de ellas.

Graficar

El conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones se puede considerar como el conjunto de todos los puntos de intersección de las gráficas de las ecuaciones del sistema. Si el sistema no tiene solución, entonces no hay puntos de intersección de las gráficas de las ecuaciones en el sistema, por lo que las gráficas de las ecuaciones nunca deben intersecarse. Por lo tanto, si graficamos todas las ecuaciones de nuestro sistema y observamos que nunca se cruzan, entonces sabemos que tenemos un sistema inconsistente. Veamos nuestro ejemplo. Graficamos ambas ecuaciones en la misma gráfica como se muestra:


Gráfico de nuestro sistema
1

Vemos que las gráficas son líneas paralelas, por lo que nunca se cruzan, por lo que sabemos que el sistema es inconsistente y no tiene solución.

Es importante tener en cuenta que a veces los gráficos pueden ser engañosos. Por ejemplo, considere este sistema de ecuaciones y sus gráficas:


Las líneas aparecen paralelas
2

Parece que los dos gráficos no se cruzan; sin embargo, si se aleja un poco o mira una parte diferente del gráfico, encontrará que eventualmente se intersecarán en el punto (20,25).


Vemos que las lineas no son paralelas
3

Por lo tanto, siempre es importante usar álgebra o lógica, junto con gráficas, para asegurarse de que el sistema sea inconsistente.

Lógica

Hay varias formas de utilizar la lógica para determinar si un sistema es incoherente. Siempre es útil cuando está familiarizado con los tipos de ecuaciones de su sistema. Por ejemplo, en nuestro ejemplo de limonada, sabemos que las dos ecuaciones son líneas. También sabemos que las líneas paralelas no se cruzan. Dos rectas que tienen la misma pendiente pero diferentes intersecciones en y son paralelas. Podemos usar esta información para deducir lógicamente si nuestro sistema es inconsistente.

Primero, ponemos nuestras dos ecuaciones en forma pendiente-intersección . Es decir, y = mx + b , donde m es la pendiente y b es la intersección con el eje y . Por lo tanto, resolvemos cada ecuación para y .

y = -1/2 x + 2

y ‘= -1/2 x + 3

Observe que ambas ecuaciones tienen la pendiente m = -1/2, pero tienen diferentes intersecciones en y , b = 2 y b = 3. Por lo tanto, las líneas son paralelas y el sistema es inconsistente. Vemos que es importante estar familiarizado con las ecuaciones con las que está trabajando para poder usar la lógica para determinar si el sistema es inconsistente.

Álgebra

Por último, podemos usar estrategias algebraicas para determinar si un sistema es inconsistente. Cuando tenemos un sistema inconsistente, a medida que avanza por los pasos para resolver el sistema algebraicamente, se encontrará con una contradicción o una declaración que no tiene sentido, como 4 = 5 o 0 = 9. Suponga que estamos usando sustitución para resolver nuestro sistema. Estos son los pasos que usaríamos:

4

Primero, resolveríamos la ecuación uno para x para obtener x ‘= 4 – 2 y . Luego reemplazamos este valor para x en la segunda ecuación y procedemos a resolver para y .

3 (4 – 2 y ) + 6 y = 18 Distribuir los 3
12-6 y + 6 y = 18 Combina los términos y
12 = 18 ¿¿Qué?? ¡Esto no tiene sentido!

La declaración 12 = 18 es una contradicción, por lo que sabemos que nuestro sistema es inconsistente.

Teniendo en cuenta que los tres métodos han demostrado que nuestro sistema es inconsistente, es seguro decir que no podemos ponerle precio a nuestra limonada y galletas de la manera que describimos. Tendremos que encontrar otra forma de ponerles precio.

Resumen de la lección

Un sistema de ecuaciones inconsistente es un sistema de ecuaciones sin solución. Podemos determinar si nuestro sistema es inconsistente de tres maneras: gráficas, álgebra y lógica. Las gráficas de un sistema inconsistente no tendrán puntos de intersección. Intentar resolver un sistema sin soluciones algebraicamente conducirá a una contradicción. La lógica requiere estar familiarizado con las ecuaciones, como poder reconocer líneas paralelas, para determinar que un sistema no tiene solución.

Saber si un sistema de ecuaciones es inconsistente es extremadamente útil, ya que sabemos que tenemos que empezar de nuevo o cambiar algo. No perdemos más tiempo en un problema que no tiene solución. Vemos que este es un conocimiento valioso para incluir en nuestra caja de herramientas de matemáticas.

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