Resolver y graficar desigualdades de valor absoluto: problemas de práctica

Publicado el 18 septiembre, 2020

Revisión de la desigualdad

Hay una gran diferencia entre las ecuaciones de valor absoluto y las desigualdades de valor absoluto que deberíamos revisar rápidamente antes de pasar a algunos problemas de práctica, y es: cuando dividimos una desigualdad en dos diferentes para deshacer un valor absoluto, debemos recordar para darle la vuelta al letrero que emparejamos con el negativo. Aparte de eso, todas las reglas son las mismas y deberíamos estar listos para comenzar.

También quiero mencionar que debido a que este es un video de problemas de práctica y estaremos haciendo alrededor de cuatro problemas de práctica, los animo a pausar el video cuando vean el problema. Pruébelo por su cuenta y vea hasta dónde llega. Si te quedas atascado, o si terminas todo y quieres verificar tu respuesta, mira el video para ver si lo hice de la misma manera que tú y si obtuviste la respuesta correcta. De esa manera, podrá concentrarse en lo que hizo mal, o puede omitirlo rápidamente si ya sabe que lo hizo bien.

O desigualdad compuesta


Gráfica de una desigualdad compuesta OR
Desigualdades Gráfico 1

Practicaremos esa diferencia en esta primera pregunta aquí: Resolver y graficar | x + 4 | > 5.

Debido a que no sucede nada fuera del valor absoluto, podemos comenzar dividiendo la desigualdad para deshacer el valor absoluto. Eso nos deja con dos desigualdades: una, x + 4> 5, y otra, x + 4 <-5. Entonces, no solo lo configuramos en -5, sino que también lo cambiamos a un signo de ‘menos que’. Todavía necesitamos resolver cada desigualdad para x , lo que significa deshacer el + 4 en ambos. Puede deshacer la suma con la resta, y hacer eso para ambas desigualdades nos da nuestra desigualdad resuelta, x > 1 ox <-9. Esta es ahora una desigualdad compuesta, porque hay dos desigualdades en un problema.

Graficar esta desigualdad compuesta es tan fácil como poner ambas gráficas en la misma recta numérica una a la vez. Podemos comenzar poniendo un círculo abierto en 1 y dibujando una flecha a la derecha. Es un círculo abierto porque solo es ‘mayor que’, no ‘igual a’, y la flecha va hacia la derecha porque queremos todos los números que son mayores que 1. Poner el otro allí significa un círculo abierto en -9 y una flecha que va hacia la izquierda. Vemos que nuestra gráfica está completa y parece que es una desigualdad compuesta OR porque las gráficas van en direcciones opuestas. Eso significa que ya sea mayor que 1 oser menor que -9 es suficiente para satisfacer esta desigualdad. No tiene que ser ambos; puede ser uno u otro. De hecho, podríamos haber sabido que era una desigualdad OR desde el principio con solo darnos cuenta primero de que todas las desigualdades de valor absoluto de una variable nos dan desigualdades compuestas y que los problemas donde el valor absoluto es mayor que algo nos llevan a ejemplos OR.

Y desigualdad compuesta

Nuestro segundo problema puede parecer en un principio que también será una desigualdad compuesta OR, pero hay una diferencia que hará que no sea exactamente como podría parecer inicialmente. El problema, resuelve y grafica -2 | x | -1 > -9, también tiene un valor absoluto y un símbolo>, pero esta vez hay operaciones matemáticas en el exterior del valor absoluto. Esto significa que antes de dividir la desigualdad en dos, necesitamos deshacer el -1 y los tiempos -2 en el exterior.

El paso más externo es el -1, entonces lo deshacemos con la suma. A continuación, deshacemos la multiplicación de -2 con la división de -2, y ahora debemos recordar la regla de las desigualdades que nos dice que debemos voltear el símbolo cada vez que multiplicamos o dividimos por un número negativo. Esto nos deja con la desigualdad resultante como | x | < 4, y ahora nos damos cuenta de que esto terminará siendo una desigualdad compuesta Y porque el valor absoluto ahora es menor que 4 en lugar de mayor que al principio. Dividir la desigualdad y voltear uno de los símbolos nos deja con nuestra desigualdad resuelta: x < 4 y x > -4.

Para graficar esto, puedo volver a hacer uno a la vez y poner un círculo cerrado (porque es ‘o igual a’) en 4 y dibujar una flecha a la izquierda, luego poner otro círculo cerrado en -4 y dibujar una flecha hacia el Derecha. Debido a que las flechas apuntan una hacia la otra, podemos conectar los dos puntos y terminamos con nuestro gráfico de desigualdad compuesta Y con el mismo aspecto.


Gráfica de una desigualdad compuesta Y
Desigualdades Gráfico 2

Números negativos y desigualdades

Si en algún momento está resolviendo un problema como uno de estos dos y termina con una declaración en la que el valor absoluto de cualquier cosa es mayor o menor que un número negativo, sabe que algo está pasando. Por ejemplo, tome | 7 x – 1 | > -5. No importa lo que esté sucediendo en el interior del valor absoluto, porque sabemos que eventualmente se convertirá en un número positivo. Por tanto, este valor absoluto siempre será mayor que -5; la desigualdad siempre será cierta sin importar lo que sustituyamos por x , y por lo tanto hay un número infinito de soluciones para este problema. Pero por otro lado, si en cambio tuviéramos | 7 x– 1 | <-5, la misma lógica nos dice que es imposible para nosotros hacer un valor absoluto menor que -5, y por lo tanto no hay soluciones para este.

Sistema de Desigualdades

Terminaremos este video de problema de práctica con un sistema de desigualdades de valor absoluto de dos variables. Gráfico y > (1/2) | x | – 5 ey <2.

Este es un sistema de desigualdades porque hay más de una desigualdad, y al menos una de ellas tiene dos variables. Podemos resolver este problema simplemente poniendo una desigualdad en la gráfica a la vez y luego averiguando dónde se superponen. Primero, comencemos con la gráfica de y > (1/2) | X| – 5. Para hacer esto, tendremos que recordar cómo usar las traducciones y también cómo graficar un valor absoluto. Todos los gráficos de valor absoluto se parecen más o menos a ‘V, pero este tendrá algunas diferencias. En primer lugar, el -5 al final arrastrará el vértice del gráfico cinco lugares hacia abajo, por lo que, en lugar de estar en el origen (0,0), se arrastrará hacia abajo hasta el punto (0, -5). En segundo lugar, el 1/2 delante del valor absoluto hará que la pendiente de la ‘V’ sea 1/2 en lugar de 1. Eso significa que, comenzando desde nuestro vértice, subiremos uno y luego dos en cada dirección. para determinar qué tan inclinada es la ‘V’, y podemos esbozarla así. Podemos dejar la línea de la ‘V’ sólida porque es ‘o igual a’ de la desigualdad, pero aún necesitamos determinar qué parte del gráfico sombrear.> (1/2) (0) – 5, que puede simplificarse hasta 0 > -5, lo cual es cierto. Eso significa que podemos sombrear el área del gráfico con (0,0) en él, y completamos todo en el interior de la ‘V’ para obtener esa desigualdad de dos variables.


Graficar un sistema de desigualdades
Desigualdades Gráfico 3

Pero este era un sistema de desigualdades, así que todavía tenemos otra pieza para agregar a esta gráfica, y <2. Al igual que comenzamos la primera mitad de este problema graficando la línea donde y era igual al valor absoluto para obtener nuestra ‘V’ y luego determinando qué lado sombrear, comenzaremos a graficar y <2 graficando dónde y = 2 y luego decidiendo qué lado de esa línea sombrear. Graficar líneas y = en un plano de coordenadas nos deja con líneas horizontales, por lo que y = 2 se ve así. Necesitamos convertirlo en una línea de puntos para indicar que es estrictamente ‘menor que’, no ‘igual a’ y luego sombrear debajo para indicar que y= 0 funciona cuando lo sustituyo en la desigualdad (0 <2). Ahora tenemos un gráfico con un montón de sombreado en todas partes. Debido a que la solución a un sistema de desigualdades es solo donde las regiones sombreadas se superponen, cuando colocamos el gráfico y <2 encima de nuestro valor absoluto ‘V’, encontramos que nuestra solución es solo la región triangular en el medio del gráfico. , dentro de la ‘V’ pero debajo de la línea horizontal.

Resumen de la lección

Para revisar, al dividir una desigualdad de valor absoluto en dos nuevas para deshacer un valor absoluto, debe voltear el símbolo de desigualdad en el que tiene el negativo. Las operaciones fuera de un valor absoluto deben deshacerse antes de deshacer el valor absoluto en sí. Finalmente, los sistemas de desigualdades se pueden hacer con valores absolutos al igual que otras líneas, un gráfico a la vez, donde la solución es solo el área donde se superpone el sombreado.

Objetivos de la lección

Cuando complete esta lección, podrá dividir y deshacer las desigualdades de valor absoluto y dar sistemas de desigualdades para valores absolutos.

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