Rodrigo Ricardo

Secuencia convergente: definición, fórmula y ejemplos

Publicado el 24 noviembre, 2020

Secuencias y límites

Suponga que acaba de ganar una moto acuática por valor de $ 10,000 en un programa de juegos. ¡Felicidades! Después del espectáculo, vas a casa y buscas la marca y el modelo de tu nueva moto de agua en línea para aprender todo sobre ella. Encontrará un gráfico que muestra el valor previsto, debido a la depreciación, de la moto de agua al comienzo de cada año que pasa.

Año12345
Valor$ 10000$ 5000$ 3333,33$ 2500$ 2000. . .

Considere solo la lista de los valores:

  • 10000, 5000, 3333,33, 2500, 2000,. . .

Este es un ejemplo de una secuencia en matemáticas. Una secuencia es una lista de números en un orden específico y adopta la siguiente forma:

  • un 1 , un 2 , un 3 ,. . .

Cuando un n es el n º término de la secuencia. Por ejemplo, en nuestra secuencia de valores, 2500 es el valor de la moto de agua al comienzo del cuarto año después de ganar la moto de agua. Matemáticamente hablando, 2500 es el cuarto término de la secuencia, por lo que tenemos lo siguiente:

  • a 4 = 2500

Observe que los valores en la secuencia disminuyen cada año debido a la depreciación. Si tuviéramos que continuar la secuencia, encontraríamos que este patrón continúa. En otras palabras, a n se acerca a cero cuando n se acerca al infinito (se hace cada vez más grande).

Este fenómeno también tiene un significado matemático. Cuando se trata de secuencias, llamamos a un número que los términos de la secuencia se acercan al límite de la secuencia, y usamos esta notación:

convseq2

Estos límites son un tema amplio que requeriría varias lecciones para cubrir. Desempeñan un papel importante en la identificación de las características de una secuencia, por lo que para explorar adecuadamente estas características, se darán los límites necesarios en esta lección.

Secuencias y fórmulas convergentes

Cuando una secuencia tiene un límite que existe, decimos que la secuencia es una secuencia convergente . No todas las secuencias tienen un límite que exista. Por ejemplo, considere la secuencia de muestra de los números de conteo:

  • 1, 2, 3, 4,. . .

Si seguimos esta secuencia, los términos simplemente se hacen más grandes y más grandes, por lo que un n tiende a infinito como n tiende a infinito. Por lo tanto, los términos no se acercan a un número, porque el infinito no es un número. Por tanto, la secuencia no tiene límite y no es convergente.

De acuerdo, algunas secuencias son convergentes y otras no, pero ¿cómo determinamos cuál es el caso de una secuencia determinada? Todo se reduce a dos pasos:

  1. Encuentra una fórmula para el n º plazo, o un n , de la secuencia.
  2. Encuentre el límite de esa fórmula cuando n se acerca al infinito. Si existe el límite, la secuencia es convergente. De lo contrario, la secuencia no es convergente.

La parte complicada es el primer paso. Algunas fórmulas para secuencias son obvias, pero otras no. Considere nuevamente nuestra secuencia de valores. A primera vista, es posible que no pueda reconocer una fórmula, pero observe cada término escrito de manera un poco diferente:

convseq3

Mirando la secuencia de esta manera, buscamos formas de escribir la a n en términos de n . ¿Ves cómo podemos hacer esto?

Observe que el primer término es igual a 10,000 / 1, el segundo término es igual a 10,000 / 2, y así sucesivamente. Continuando con esto, tenemos que el n- ésimo término es igual a 10,000 / n . ¡Ah-ja! Tenemos una fórmula para el n º término de la secuencia:

  • a n = 10,000 / n

El segundo paso es encontrar el límite de 10,000 / n cuando n se acerca al infinito.

convseq4

Efectivamente, vemos que el límite de la secuencia es cero, como sospechábamos. Dado que existe el límite de la secuencia, la secuencia es convergente.

¡Consideremos algunos ejemplos más!

Ejemplos

Considere la siguiente secuencia:

  • 1, 4, 9, 16, 25,. . .

Queremos determinar si la secuencia es convergente o no, así que seguimos nuestros pasos. El primero de los cuales es encontrar una fórmula para el n º término de la secuencia. ¿Lo ves? Si no es así, analicemos cada término como lo hicimos antes.

convseq5

Vemos que el n º término de la sucesión puede ser representado como n 2 , por lo que tenemos la siguiente:

  • una n = n 2

¡Ahora, encontramos el límite!

convseq6

Obtenemos que el límite de la secuencia es infinito, que no es un número, por lo que la secuencia no es convergente.

¡Un ejemplo más! Misma pregunta, secuencia diferente:

  • 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6,. . .

Queremos determinar si esta secuencia es convergente. En primer lugar, nos encontramos con nuestra fórmula para un n mediante la observación de los términos de una en una y en busca de patrones.

convseq7

Obtenemos que el n º término es igual a n / ( n + 1).

  • una n = n / ( n + 1)

Ahora, encontramos el límite de n / ( n + 1) cuando n se acerca al infinito.

convseq8

Obtenemos que el límite de la secuencia es 1, que es un número, por lo que el límite existe y la secuencia es convergente. ¡Creo que estamos entendiendo esto!

Resumen de la lección

Una secuencia es una lista de números en un orden específico:

  • un 1 , un 2 , un 3 ,…

donde un n es el n º término de la secuencia.

Llamamos a un número cuando los términos de la secuencia se acercan a un límite de la secuencia. No todas las secuencias tienen un límite que exista. Cuando una secuencia tiene un límite que es un número y existe, lo llamamos secuencia convergente . Para determinar si una secuencia dada es convergente, usamos los siguientes dos pasos:

  1. Encuentra una fórmula para el n º plazo, o un n , de la secuencia.
  2. Encuentre el límite de esa fórmula cuando n se acerca al infinito. Si existe el límite, la secuencia es convergente. De lo contrario, la secuencia no es convergente.

Ser capaz de determinar si una secuencia es convergente o no realmente nos ayuda a analizar la secuencia y lo que representa en una situación de la vida real, ¡así que guardemos este proceso en nuestra caja de herramientas de matemáticas para uso futuro!

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