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Secuencia geométrica: fórmula y ejemplos

Publicado el 23 noviembre, 2020

El concepto de secuencia geométrica

En matemáticas, una secuencia suele ser una progresión de números con un punto de partida claro. Lo que hace que una secuencia sea geométrica es una relación común que existe entre dos números consecutivos cualesquiera en la secuencia.

Consideremos el torneo de baloncesto de la NCAA. Después de las rondas preliminares, el torneo tiene un campo de 64 equipos. En la ronda de 64, juegan todos los equipos, por lo que habrá 32 equipos eliminados. En otras palabras, quedan 32 equipos, o la mitad de lo que empezamos. Después de los dieciseisavos de final, quedan 16 equipos. Nuevamente, el número de equipos se ha reducido a la mitad. Este patrón continúa hasta que queda un equipo. Escribamos esto como una secuencia:

64, 32, 16, 8, 4, 2, 1

¿Ves la relación entre dos términos consecutivos? Cada término después del primer término es la mitad del término anterior. Otra forma de verlo es que multiplicamos cada término por ½ para obtener el siguiente término de la secuencia. También observe que la razón de cualquier término y su término anterior es ½. Por ejemplo 32/64 = ½ y 2/4 = ½. Esto se llama razón común de la serie geométrica y se denota por r . Esta relación debe ser válida para cualquier par de términos consecutivos. De lo contrario, la secuencia no es una secuencia geométrica.

Este ejemplo es una secuencia geométrica finita; la secuencia se detiene en 1. Algunas secuencias geométricas continúan sin fin, y ese tipo de secuencia se llama secuencia geométrica infinita.

Identificación de secuencias geométricas

Veamos otros ejemplos de secuencias geométricas:

6, 12, 24, 48, 96, …

4, -6, 9, -13,5, …

La primera secuencia tiene una proporción común de 2:

12/6 = 24/12 = 48/24 = 96/48 = 2

La segunda secuencia también es geométrica. Puede ser difícil de ver al principio, pero tiene una proporción común de (-3/2):

-6/4 = 9 / -6 = -13,5 / 9 = -3/2

Veamos ahora algunas secuencias que no son geométricas:

1, 4, 9, 16, 25, …

100, 90, 80, 70, 60, …

En cada secuencia, la relación entre términos consecutivos no es la misma. Por ejemplo, 4/1 no es igual a 9/4 en la primera secuencia. En la segunda secuencia, 90/100 no es igual a 80/90.

Regla para una secuencia geométrica

El n º término de una secuencia geométrica se identifica como un ( n ). Por ejemplo, a (1) es el primer término de la secuencia y a (7) es el séptimo término de la secuencia. Para pasar de un término de una secuencia al siguiente, necesitamos multiplicar el término anterior por la razón común r . La regla para encontrar el n º término de una secuencia es:


Figura 1
regla

Observe que el primer término a (1) se multiplica por r elevado a (1 – 1) o cero. Cualquier número elevado a cero es 1, por lo que simplemente multiplicamos el primer término por 1. A medida que calculamos cada término siguiente, seguimos multiplicando por r . El séptimo término sería a (1) multiplicado por r seis veces o r ^ 6.

Escribir una regla para una secuencia geométrica

Vamos a escribir una regla para el n º plazo de la siguiente secuencia geométrica:

3, 15, 75, 375, 1875,…

El primer término es a (1) = 3. La razón común r formada usando cualquier par de términos consecutivos es 15/3 = 5. Podemos sustituir estos valores en la regla general para una secuencia geométrica:


Figura 2
secuencia

Ahora que tenemos una regla para esta secuencia, podemos encontrar fácilmente cualquier término de la secuencia. Busquemos un (9):

a (9) = 3 (5) ^ (9 – 1)

a (9) = 3 (5) ^ 8

a (9) = 1,171,875

Vamos a escribir una regla para el n º término de una secuencia geométrica con una relación común de 6 y un (3) = 72.

Se nos da r , pero necesitamos encontrar a (1).

a ( n ) = a (1) r ^ ( n – 1) (escribe la regla general)

a (3) = a (1) r ^ (3-1) (reemplace n con 3)

72 = a (1) 6 ^ 2 (reemplaza a (3) yr )

2 = a (1) (resuelve para a (1))

Ahora podemos escribir la regla:


figura 3
secuencia

Resumen de la lección

Una secuencia geométrica se forma multiplicando cada término precedente por el mismo factor, que llamamos razón común r . Cuando se le da la regla para una secuencia geométrica específica, el primer término a (1) de la secuencia y la razón común r de la secuencia pueden identificarse claramente. Cuando no se da la regla para una secuencia geométrica específica, la regla se puede encontrar con solo unos pocos cálculos, dada la información apropiada.

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