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Secuencia infinita: definición y ejemplos

Publicado el 23 septiembre, 2020

Concepto Infinito

La palabra ‘infinito’ implica ‘sin fin’ o ‘sin límite’. Algunos consideran que el espacio es infinito, pero no lo sabemos con certeza. Dentro de las matemáticas, podemos aplicar este concepto al sistema de números naturales, usando la N mayúscula para representar números naturales. La elipsis que sigue al número 5 nos dice que los números continúan sin fin.

N = {1, 2, 3, 4, 5,…}

Esta es una secuencia infinita o una secuencia sin fin. Una secuencia es una progresión de números con un punto de partida claro. Los elementos de una secuencia no son una lista arbitraria de números. En otras palabras, no se enumeran al azar sino que siguen un orden específico. A menudo, las secuencias infinitas siguen un patrón matemático específico para que pueda escribir reglas o fórmulas para encontrar fácilmente cualquier miembro de la secuencia.

El N º Term

En una secuencia infinita, hay un primer término, un segundo término y así sucesivamente. Es común para representar el n º término de una secuencia como una ( n ) . Por ejemplo, el primer término de una secuencia es un (1) y el término 23 de una secuencia es un (23) . Los números entre paréntesis junto a la a generalmente se escriben como subíndices.

secuencia infinita

Secuencias aritméticas infinitas

Una secuencia aritmética infinita es una lista interminable de números en la que la diferencia entre términos consecutivos es constante. Una secuencia aritmética puede comenzar en cualquier número, pero la diferencia entre términos consecutivos, llamada diferencia común, debe ser siempre la misma.

Veamos un ejemplo de una secuencia aritmética infinita:

5, 8, 11, 14, 17,…

Este primer término en esta secuencia es 5, entonces a (1) = 5. La diferencia común entre términos consecutivos es 3.

La diferencia entre términos consecutivos puede ser un número negativo:

2, 0,5, -1, -2,5, -4,…

La diferencia común en esta secuencia es -1,5.

El conjunto de números naturales es una secuencia aritmética infinita. Comienza en el número 1 y tiene una diferencia común de 1.

Secuencias infinitas geométricas

En una secuencia geométrica infinita , también hay un factor común entre términos consecutivos llamado razón común. La razón de cualquier término al término anterior es siempre la misma. Esta relación es válida para cualquier par de términos consecutivos.

Veamos un ejemplo de una secuencia geométrica infinita:

2, 4, 8, 16, 32,…

La razón común en esta secuencia es 2 porque 4/2 = 8/4 = 16/8 = 32/16 = 2. En otras palabras, multiplicamos cualquier término por la razón común de 2 para obtener el siguiente término.

Veamos otro ejemplo de una secuencia geométrica infinita:

27, -9, 3, -1, 1/3,…

La proporción común en esta secuencia es -1/3.

Otros tipos de secuencias infinitas

Una secuencia infinita no necesita ser aritmética o geométrica; sin embargo, suele seguir algún tipo de regla o patrón. Veamos esta secuencia infinita:

1, 4, 9, 16, 25,…

Puede notar que esta secuencia es el cuadrado de los números naturales:

1 2 = 1, 2 2 = 4, 3 2 = 9, 4 2 = 16, 5 2 = 25

El siguiente término de esta secuencia sería 6 2 o 36.

Escribir reglas para secuencias infinitas

Escribir una regla para el enésimo término de una secuencia infinita puede ser complicado. Un miembro de una secuencia infinita suele ser función de su orden en la secuencia. Consideremos esta secuencia:

2, 4, 6, 8, 10,…

a (1) = 2, a (2) = 4, a (3) = 6, etc.

¿Notaste que el valor de cada término es el doble de su orden en la secuencia? Por lo tanto, la regla general para esta secuencia infinita es a ( n ) = 2 n .

Probemos uno que sea más difícil. Tenemos que escribir una regla general para el n º plazo de la siguiente secuencia infinita:

0, 7, 26, 63, 124,…

Necesitamos encontrar una regla que nos dé 0 cuando n = 1; 7 cuando n = 2; 26 cuando n = 3; y así. Cada uno de estos términos está muy cerca del cubo de su orden en la secuencia. De hecho, cada término es siempre uno menos que el cubo de su orden. Por ejemplo, a (3) = 3 a (3 – 1) . Por lo tanto, la regla general para esta secuencia es a ( n ) = n a (3 – 1) .

Probemos con un ejemplo más. Tenemos que escribir el siguiente término de la siguiente secuencia infinita y luego escribir una regla general para el n º plazo.

1, 8, 64, 512, 4096,…

Estos términos parecen ser potencias del número 8. Por lo tanto, el siguiente término, a (6) , es igual a (8) 4.096 = 32.768.

Nuestro primer intento con una regla general podría ser a ( n ) = 8 n . Pero eso no funciona porque eso nos daría un primer término de a (1) = 8 1 = 8. Parece que el orden de cada potencia está fuera de lugar en uno. Pero podemos arreglar esto ajustando nuestra regla general para que sea a ( n ) = 8 ( n – 1) . Ahora funciona.

Resumen de la lección

Una secuencia infinita es una lista de términos que continúa para siempre. Los términos están ordenados. Esto significa que el primer miembro es siempre el primer miembro y el 15º miembro es siempre el 15º miembro. Esta lección se centró en secuencias infinitas que contenían algún tipo de patrón matemático. En una secuencia aritmética infinita , la diferencia entre términos consecutivos, llamada diferencia común, debe ser siempre la misma. Una secuencia geométrica infinita también tiene un factor común entre términos consecutivos llamado razón común. La razón de cualquier término al término anterior es siempre la misma. Una secuencia infinita no necesita ser aritmética o geométrica, pero por lo general sigue algún tipo de regla o patrón.

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