Segmento medio: teorema y fórmula

Publicado el 23 septiembre, 2020 por Rodrigo Ricardo

Definición

El segmento medio de un triángulo se define como el segmento formado al conectar los puntos medios de dos lados cualesquiera de un triángulo. En pocas palabras, divide dos lados de un triángulo por igual. El punto medio de un lado divide el lado en dos segmentos iguales. Como puede ver en la siguiente imagen, DE es el segmento medio del triángulo ABC. El punto D divide el segmento AB en dos partes iguales y el punto E divide el segmento CB en dos partes iguales. El lado del triángulo que el segmento medio no cruza es la base del triángulo.


En este triángulo, el segmento medio DE divide el segmento AB en dos partes iguales y divide el segmento CB en dos partes iguales.
Triángulo que muestra el segmento medio

El segmento medio de un trapezoide es el segmento que se forma al conectar los puntos medios de las dos patas de un trapezoide. Aunque el segmento medio de un trapezoide también es útil en matemáticas, no lo discutiremos aquí.

Propiedades del teorema del segmento medio y del segmento medio

El segmento medio del triángulo tiene varias propiedades útiles:

  • El segmento medio mide la mitad de la longitud de la base.

El segmento medio mide la mitad de la longitud de la base.
Segmento medio etiquetado con longitud
  • El segmento medio es paralelo a la base.
  • El triángulo formado por el segmento medio y las dos mitades tienen las mismas medidas de ángulo que el triángulo original.
  • El perímetro del triángulo formado por el segmento medio y las dos mitades es igual a la mitad del perímetro del triángulo original.
  • El área del triángulo formado por el segmento medio y las dos mitades es igual a un cuarto del área del triángulo original.

El hecho de que el segmento medio tenga la mitad de la longitud de la base a menudo se denomina Teorema del segmento medio . Tal vez recuerde que un teorema es simplemente un enunciado matemático que ha sido probado formalmente. Veamos un ejemplo rápido que usa el teorema del segmento medio.

En la siguiente imagen, el segmento DE es un segmento medio del triángulo ABC. Si DE es paralelo a AC y AC tiene una longitud de 10 pies, ¿cuánto mide DE ?


DE es el segmento medio y es paralelo a AC.
Triángulo con segmento medio

Sabemos por el teorema del segmento medio que DE es la mitad de la longitud de AC. Por lo tanto, DE debe ser la mitad de 10 pies o 5 pies.

Echemos un vistazo a algunos ejemplos.

Ejemplos que utilizan el segmento medio

En la imagen siguiente, vemos que B St., Smith Rd. Y Powell St. forman un triángulo. Jones Way forma el segmento medio de este triángulo. Si supiera que Powell St. tenía 1000 metros de largo, podría encontrar la longitud de Jones Way. Dado que Jones Way es el segmento medio, debe tener la mitad de la longitud de la base, Powell St.


Jones Way es el segmento medio del triángulo formado por B St., Smith Rd. Y Powell St.
Segmento medio de calles

La mitad de 1000 metros son 500 metros, por lo tanto, Jones Way tiene 500 metros de largo.

Probemos con otro ejemplo.

En el triángulo ABC a continuación, DE es el segmento medio del triángulo. Si la medida del ángulo BAC es 55 grados, ¿cuál es la medida del ángulo BDE ?


En esta imagen, compare las medidas de los ángulos del lado izquierdo, BAC y BDE.
Segmento medio de tirangle

La tercera propiedad del segmento medio nos dice que el segmento medio forma un segundo triángulo más pequeño que tiene todas las mismas medidas de ángulo que el triángulo original. Esto significa que si el ángulo BAC tiene una medida de 55 grados, el ángulo BDE también debe tener una medida de 55 grados.

La relación de área se ve con frecuencia en el triángulo de Sierpinski . Este diseño especial se hace dibujando un triángulo y luego dibujando los tres segmentos medios. El nuevo triángulo central creado (mostrado en rojo en el triángulo del lado izquierdo a continuación) tiene un área igual a un cuarto del área del triángulo original. El proceso de dibujar los segmentos medios de los triángulos sin sombrear y sombrear el nuevo triángulo central se puede repetir para crear el diseño, como se muestra en el triángulo del lado derecho a continuación.


El triángulo de Sierpinski se forma dibujando los segmentos medios del triángulo original, sombreando el trinagle central y luego repitiendo el proceso.
Triángulo de Sierpinski

Resumen de la lección

El segmento medio de un triángulo se define como el segmento formado al conectar los puntos medios de dos lados cualesquiera de un triángulo. Tiene las siguientes propiedades:

1) Tiene la mitad de la longitud de la base del triángulo.

2) Es paralelo a la base.

3) Forma un triángulo más pequeño que tiene todas las mismas medidas de ángulo que el triángulo original.

4) Forma un triángulo más pequeño con un perímetro igual a la mitad del perímetro del triángulo original.

5) Forma un triángulo más pequeño con un área igual a un cuarto del área del triángulo original.

Propiedades del segmento medio de un triángulo


La línea DE es el segmento medio del triángulo ABC.
Triángulo con segmento medio
  • Conecta los dos puntos medios de los dos lados de un triángulo.
  • Es igual a la mitad de la longitud de la base.
  • Es paralelo a la base.
  • Forma un triángulo más pequeño con las mismas medidas de ángulos, la mitad del perímetro y un cuarto del área del triángulo original.

Los resultados del aprendizaje

Estudiar esta información en el segmento medio podría permitirle hacer estas cosas:

  • Tenga en cuenta la definición y el propósito del segmento medio de un triángulo
  • Indique las propiedades de un segmento medio de un triángulo
  • Utilice el teorema del segmento medio

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