Serie de Taylor, coeficientes y polinomios: definición, ecuaciones y ejemplos
La serie Taylor
A veces, una receta de pan es demasiado complicada. Quizás el pan tenga buen sabor si aproximamos algunos de los ingredientes; como usar mantequilla común en lugar de mantequilla refinada purificada. En matemáticas, se pueden aproximar algunas funciones complicadas. Aquí es donde la serie Taylor es muy efectiva. En esta lección, aprenderemos sobre la serie de Taylor y que se usa para obtener una respuesta aproximada a una integración definida que de otro modo sería imposible.
Aproximación de un polinomio
Una buena forma compacta de escribir la serie de Taylor utiliza la notación de suma que aparece a continuación:
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Solo por diversión, expandamos esta suma infinita a n = 2 en la que, como puede ver, obtenemos:
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¿Qué pasa si la f ( x ) en el lado izquierdo es el polinomio:
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Entonces, f ( a ) se encuentra reemplazando x con a , como puede ver aquí:
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A continuación, encontramos la derivada, f ‘ :
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Y reemplazando x con a otra vez:
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Luego diferenciamos una vez más, con:
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Sustituyendo con a por lo que se convierte en:
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Los términos son cada vez más pequeños. La siguiente derivada es solo 24 y las derivadas posteriores son todas cero.
Ahora para la tercera derivada:
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Evaluando en x = a , como puede ver, obtenemos:
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Ahora por la diversión. Tenemos todos los ingredientes para el lado derecho, como puedes ver con todos los valores en estos cálculos:
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El lado derecho es exactamente igual al lado izquierdo. Esta no es una aproximación. Pero, por favor, resista el impulso de expandir el lado derecho, que, seamos realistas, es para lo que estamos programados. En su lugar, mantenga los términos organizados entre paréntesis. Además, hagamos una aproximación manteniendo solo los primeros tres términos (los que están en azul). El polinomio que obtenemos manteniendo algunos, pero no todos los términos, se llama polinomio de Taylor .
El lado izquierdo es un polinomio de Taylor de tercer grado en x , como puede ver en este gráfico:
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Nuestra aproximación es un polinomio de segundo grado en x . Esta función gira solo una vez. Es una parábola:
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¿Ves cómo la aproximación (la curva verde) en x = 2 está realmente cerca del polinomio (la curva azul)? Tenemos una coincidencia muy buena en x = 2 porque evaluamos la serie de Taylor en a = 2.
¿Y si quisiéramos nuestra aproximación en x = -1?
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La serie Taylor es realmente poderosa. Podemos mover la aproximación a nuestro punto de interés y la serie acomodará automáticamente la mejor coincidencia.
Aproximación de integrales insolubles
La función gaussiana aparece en todo tipo de aplicaciones como probabilidad y procesamiento de imágenes.
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Si integramos todos los valores de x obtenemos una constante. Esta integral es sorprendentemente fácil de hacer. Lo que es aún más sorprendente es que no existe una solución de forma cerrada para esta integral como una anti-derivada más una constante. Puede probar todos sus métodos favoritos como sustitución, sustituciones trigonométricas e integración por partes. Nada funciona. Lo mejor que tenemos son las aproximaciones, generalmente usando la función de error. Es hora de aplicar la serie de Taylor a una aplicación matemática real.
Primero, escribimos la integral de la función gaussiana con todo su detalle, como puedes ver a continuación:
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Hay dos parámetros en la función gaussiana: la media, μ y la varianza, σ 2 . La media ubica el centro de la función y la varianza define el margen. En este ejemplo, elegiremos μ y σ 2 para facilitar nuestros cálculos. Sea μ = 0 y sea σ 2 = 1 / (2π). Entonces, la integral se convierte en:
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La estrategia es escribir algunos términos de la serie de Taylor y luego integrar cada uno de esos términos. Empezamos con f ( x ):
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Ahora, como antes, sustituimos a por x :
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Ahora, calcula la primera derivada de f ( x ) con:
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Y sustituya a :
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Las cosas se vuelven un poco más intensas a medida que tomamos la siguiente derivada, que es:
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¡Todo un bocado! Simplifiquemos factorizando:
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Y reemplazar x con a :
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Sustituimos estos resultados en la expresión de la serie de Taylor. Después de factorizar y agrupar términos, obtenemos la serie de números y cálculos que aparecen a continuación:
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Puede parecer algo disfrazado, pero este es nuestro polinomio de segundo orden en x parábola.
¿Y si quisiéramos explorar el Gauss cerca del punto x = 0.5?
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Cuanto más nos acerquemos a x = 0,5, mejor será la aproximación con la gaussiana en x = 0,5. Podríamos haber elegido cualquier punto para x . La idea es permanecer cerca del punto en el que hacemos la integración.
Digamos que integramos el gaussiano de x = 0.49 ax = 0.51. Recuerde, no existe una respuesta de forma cerrada para este tipo de integral. Sin embargo, podemos integrar cada uno de los términos en la aproximación de la serie de Taylor y evaluar esta integral entre estos dos límites.
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El resultado de todos estos cálculos cuando todo está dicho y hecho es 0.0091, lo que concuerda con la respuesta aceptable usando el método de función de error.
Usar un intervalo más amplio requerirá más términos, pero la idea es básicamente la misma: use la serie de Taylor para aproximar una función, integre cada término de la aproximación y luego evalúe la integral cercana al valor que elegimos para a .
Resumen de la lección
Tomemos unos breves momentos para revisar lo que hemos aprendido sobre la serie Taylor y cómo usarla. La serie de Taylor es una aproximación a una función de x sobre un punto particular a . La serie se construye a partir de derivadas de la función a aproximar. Aunque la serie se expresa como una serie infinita, a menudo es útil evaluar solo un número finito de términos. Este número finito de términos a veces se denomina polinomio de Taylor .