Rodrigo Ricardo

Serie P: definición y ejemplos

Publicado el 24 noviembre, 2020

Definición de un p -Serie

A p -series es un tipo específico de serie infinita. Es una serie del formulario que puede ver aparecer aquí:

definición

donde p puede ser cualquier número real mayor que cero.

Observe que en esta definición n siempre tomará valores enteros positivos, y la serie es una serie infinita porque es una suma que contiene términos infinitos.

Hay infinitas series p porque tiene infinitas opciones para p . Cada vez que elige un valor diferente para p , crea otra p -serie.

Cuando trabaje con series infinitas, querrá saber si convergen o divergen. Con p -series, si p > 1, la serie convergerá , o en otras palabras, la serie sumará un valor numérico específico. Si 0 < p ≤ 1, la serie divergerá , lo que significa que la serie no sumará un valor numérico específico.

Ejemplos de p -Series

Una de las series p básicas se llama serie armónica . Esta es la serie que se forma cuando p = 1. Se ve así:

serie armónica

La serie armónica se usa mucho en cálculo en comparaciones con otras series; también se utiliza en pruebas de convergencia y divergencia.

Echemos un vistazo a algunos ejemplos más de la serie p . Aquí es lo que el p -series parece cuando p = 2:

Ejemplo 2

Como puede ver, hay muchas series p , y p no siempre tiene que ser un número entero. Por ejemplo, aquí está la serie p cuando p = 1/2:

ejemplo 4

Mire de cerca el ejemplo anterior. Cuando 0 < p <1, una serie como esta incluye todos los términos de la serie armónica más muchos términos intermedios. Dado que la serie armónica diverge, estas series que incluyen todos los términos de la serie armónica, más otros términos, también divergirán.

¿Por qué p no puede ser negativo?

Si hace que p sea un número negativo, ocurrirá el mismo resultado cada vez. Por ejemplo, si dejamos p = -1, la serie se vería así:

Ejemplo 5

Puede ver en este ejemplo, cuando p = -1, el valor de cada término en la secuencia aumenta. Por lo tanto, la serie es obviamente divergente, ya que está agregando valores cada vez más grandes a la suma.

Veamos qué pasaría si dejamos que p sea ​​otro número negativo, p = -3/2.

nulo

Observe que cuando el valor de p es negativo y reescribe cada término usando las reglas para exponentes, se vuelve más claro que los términos de la secuencia aumentan de valor, lo que hace que la serie diverja. Esto siempre sucederá si deja p <0, por lo que cuando mira p -series, solo usa p > 0.

p -Serie disfrazada

A veces puedes usar las reglas de los exponentes para reescribir una serie para que parezca una serie p . Estudie la serie que aparece aquí por un segundo:

Ejemplo 7

Si reescribe la fórmula de los términos de la serie, se verá así:

Ejemplo 7B

Ahora puede ver que lo que tenía primero realmente era una serie p , y como p > 1 convergerá.

Resumen de la lección

Muy bien, repasemos. En resumen, en esta lección que ha aprendido la definición de lo que se llama un p -series , que es una serie infinita, donde p puede ser cualquier número real mayor que cero, que se puede ver que aparece aquí:

serie p

También miró muchos ejemplos de p -series, incluida la serie armónica , que es la serie que se forma cuando p = 1. Aprendió que el valor de p determina si la serie convergerá o divergerá. Cuando p > 1, la serie converge , lo que significa que la serie se sumará a un valor numérico específico. Pero cuando p ≤ 1 la serie diverge , lo que significa que la serie no sumará un valor numérico específico. Finalmente, aprendió que al usar las reglas para los exponentes, es posible que pueda reescribir una fórmula dada para una serie para ver si realmente es una serie p disfrazada.

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