Rodrigo Ricardo

Serie Taylor para ln (1 + x): procedimientos y pasos

Publicado el 22 noviembre, 2020

La expresión de la serie Taylor

La serie de Taylor representa una función de x donde la función se evalúa sobre un valor, a . Como suma infinita, tenemos esto:

infinite_sum_expression

El símbolo Σ significa ” suma ”. Evaluamos la expresión a la derecha de Σ para n = 0, y luego este resultado se suma a la expresión evaluada para n = 1, n = 2, y así sucesivamente hasta n = ∞. Expandamos esta suma en los primeros 5 términos:

infinite_sum_first_five_terms

Pasos de la serie Taylor

Estos son los pasos para encontrar la serie de Taylor de ln (1 + x ).

Paso 1: Calcula las primeras derivadas de f ( x ).

Vemos en la fórmula, f ( a ). Esto es f ( x ) evaluado en x = a . Luego, vemos f ‘( a ). Esta es la primera derivada de f ( x ) evaluada en x = a .

Por tanto, el primer paso es calcular las derivadas de la función, f ( x ) = ln (1 + x ).

La derivada de ln (1 + x ) = 1 / (1 + x ) multiplicada por la derivada de 1 + x . La derivada de 1 + x = 0 + 1 = 1. Hasta ahora tenemos esto:

f (x)

Y esto:

f_prime (x)

Para encontrar la siguiente derivada, la nota 1 / (1 + x ) es lo mismo que (1 + x ) -1 . La derivada de (1 + x ) -1 es (-1) (1 + x ) -2 , que es igual a -1 / (1 + x ) 2 . Así:

f_double_prime (x)

Diferenciando nuevamente, obtenemos esto:

f_triple_prime (x)

Hagamos uno más.

f_four (x)

Escribimos 6 como 3 !. El signo de exclamación es el factorial , que significa 3 (2) (1). ¡Tenga en cuenta que podríamos haber escrito 2 como 2! porque 2! = 2 (1). Por cierto, 1! es 1 y 0! también es igual a 1.

Paso 2: evalúa la función y sus derivadas en x = a .

Tome cada uno de los resultados del paso anterior y sustituya a por x . Para f ( x ) = ln (1 + x ) obtenemos f ( a ) = ln (1 + a ). Para la primera derivada:

f_prime (a)

Asimismo, para cada una de las derivadas que evaluamos anteriormente:

f_double_prime (a)

f_triple_prime (a)

f_four_prime (a)

Paso 3: Complete el lado derecho de la expresión de la serie de Taylor.

Ahora construimos la serie Taylor a partir de esto:

infinite_sum_first_five_terms

Esto nos da esto:

infinite_sum_first_five_terms

¡En la tercera línea, vemos 2! más de 3 !. Esto se puede simplificar porque 2! / 3! = 2 (1) / 3 (2) (1) = 1/3. Del mismo modo, en la siguiente línea, ¡3! / 4! = 1/4. Nuestra expresión se convierte en esta:

simplified_infinite_sum_first_five_terms

Paso 4: Escribe el resultado usando una suma.

Tener una suma de un término general será útil para determinar el intervalo de convergencia , o el conjunto de valores x donde converge una serie. Después del término ln (1 + a ), vemos el numerador con un término ( xa ) elevado a potencias cada vez más altas. Asimismo, el denominador tiene un término (1 + a ) que crece al aumentar las potencias. También hay un número entero en el denominador que aumenta linealmente. Por último, el signo de los términos se alterna.

suma_infinita

Puede intentar expandir esta suma para convencerse de si realmente representa los términos de nuestra expresión.

Solución

Entonces, la serie de Taylor de ln (1 + x ) sobre el punto a es la siguiente:

suma_infinita

Intervalo de convergencia

Encontremos el intervalo de convergencia. El término general, A n , es este:

Un

Reemplazando n con n + 1 obtenemos A n +1 :

A_n + 1

La prueba de razón dice que una serie convergerá siempre que:

prueba de razón

Sin mostrar todos los detalles, tomamos la razón de A n +1 a A n y simplificamos para obtener:

sustituir_y_simplificar

Tome el valor absoluto y factorice n sobre n + 1:

absoluto_y_factor_salida_n

Tome el límite cuando n va a ∞ y establezca este resultado en <1:

prueba de razón

Tenemos que considerar tanto x como a . El primer término de la serie es ln (1 + a ). Dado que el logaritmo es válido solo para argumentos positivos, requerimos 1 + a > 0; es decir, a > -1.

El valor absoluto de un cociente es el cociente de los valores absolutos.

abs_of_quotient = quotient_of_abs

Esto es lo mismo que:

| xa | & lt; | 1 + a |

Cuando expandimos el valor absoluto, obtenemos:

expansion_abs

Y luego agregamos a cada parte de la desigualdad:

añadiendo_a

Ahora, para a > -1, 1 + a nunca es negativo. Por tanto, el | 1 + a | es lo mismo que (1 + a ). Esto significa:

lado izquierdo

y

lado derecho

Ahora comprobamos cada uno de los puntos finales. Sin mostrar los detalles, cuando sustituimos x = -1 en la serie, obtenemos el negativo de la serie armónica, que no converge. Por tanto, x = -1 no es parte del intervalo. Si sustituimos 1 + 2 a en la serie, obtenemos una serie armónica alternativa que converge. Por tanto, se incluye 1 + 2 a . El intervalo de convergencia es -1 < x ≤ 1 + 2 a para a > -1.

Digamos que queremos una aproximación de la serie de Taylor para ln (1 + x ) sobre a = 2. Entonces, la serie convergerá para los valores de x dentro del intervalo de convergencia. El punto de la izquierda es -1 y el punto de la derecha es 1 + 2 a = 1 + 2 (2) = 5. Por lo tanto, esperamos una buena coincidencia con la función cuando -1 < x ≤ 5.


Serie de Taylor en a = 2
Taylor_series_at_a = 2

La función ln en azul se aproxima a los primeros 6 términos de la serie de Taylor sobre a = 2 (en verde). Como predice el intervalo de convergencia, estas dos curvas son cercanas entre -1 y 5. Incrementar el número de términos en la suma mejorará la convergencia en x = 5, pero nunca habrá convergencia en x ≤ -1. Por tanto, nuestra elección de a nos permite centrarnos en un intervalo de interés siempre que a > -1.

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