Serie Taylor para ln (1 + x): procedimientos y pasos

La expresión de la serie Taylor

La serie de Taylor representa una función de x donde la función se evalúa sobre un valor, a . Como suma infinita, tenemos esto:

El símbolo Σ significa ” suma ”. Evaluamos la expresión a la derecha de Σ para n = 0, y luego este resultado se suma a la expresión evaluada para n = 1, n = 2, y así sucesivamente hasta n = ∞. Expandamos esta suma en los primeros 5 términos:

Pasos de la serie Taylor

Estos son los pasos para encontrar la serie de Taylor de ln (1 + x ).

Paso 1: Calcula las primeras derivadas de f ( x ).

Vemos en la fórmula, f ( a ). Esto es f ( x ) evaluado en x = a . Luego, vemos f ‘( a ). Esta es la primera derivada de f ( x ) evaluada en x = a .

Por tanto, el primer paso es calcular las derivadas de la función, f ( x ) = ln (1 + x ).

La derivada de ln (1 + x ) = 1 / (1 + x ) multiplicada por la derivada de 1 + x . La derivada de 1 + x = 0 + 1 = 1. Hasta ahora tenemos esto:

Y esto:

Para encontrar la siguiente derivada, la nota 1 / (1 + x ) es lo mismo que (1 + x ) -1 . La derivada de (1 + x ) -1 es (-1) (1 + x ) -2 , que es igual a -1 / (1 + x ) 2 . Así:

Diferenciando nuevamente, obtenemos esto:

Hagamos uno más.

Escribimos 6 como 3 !. El signo de exclamación es el factorial , que significa 3 (2) (1). ¡Tenga en cuenta que podríamos haber escrito 2 como 2! porque 2! = 2 (1). Por cierto, 1! es 1 y 0! también es igual a 1.

Paso 2: evalúa la función y sus derivadas en x = a .

Tome cada uno de los resultados del paso anterior y sustituya a por x . Para f ( x ) = ln (1 + x ) obtenemos f ( a ) = ln (1 + a ). Para la primera derivada:

Asimismo, para cada una de las derivadas que evaluamos anteriormente:

Paso 3: Complete el lado derecho de la expresión de la serie de Taylor.

Ahora construimos la serie Taylor a partir de esto:

Esto nos da esto:

¡En la tercera línea, vemos 2! más de 3 !. Esto se puede simplificar porque 2! / 3! = 2 (1) / 3 (2) (1) = 1/3. Del mismo modo, en la siguiente línea, ¡3! / 4! = 1/4. Nuestra expresión se convierte en esta:

Paso 4: Escribe el resultado usando una suma.

Tener una suma de un término general será útil para determinar el intervalo de convergencia , o el conjunto de valores x donde converge una serie. Después del término ln (1 + a ), vemos el numerador con un término ( x – a ) elevado a potencias cada vez más altas. Asimismo, el denominador tiene un término (1 + a ) que crece al aumentar las potencias. También hay un número entero en el denominador que aumenta linealmente. Por último, el signo de los términos se alterna.

Puede intentar expandir esta suma para convencerse de si realmente representa los términos de nuestra expresión.

Solución

Entonces, la serie de Taylor de ln (1 + x ) sobre el punto a es la siguiente:

Intervalo de convergencia

Encontremos el intervalo de convergencia. El término general, A n , es este:

Reemplazando n con n + 1 obtenemos A n +1 :

La prueba de razón dice que una serie convergerá siempre que:

Sin mostrar todos los detalles, tomamos la razón de A n +1 a A n y simplificamos para obtener:

Tome el valor absoluto y factorice n sobre n + 1:

Tome el límite cuando n va a ∞ y establezca este resultado en <1:

Tenemos que considerar tanto x como a . El primer término de la serie es ln (1 + a ). Dado que el logaritmo es válido solo para argumentos positivos, requerimos 1 + a > 0; es decir, a > -1.

El valor absoluto de un cociente es el cociente de los valores absolutos.

Esto es lo mismo que:

Cuando expandimos el valor absoluto, obtenemos:

Y luego agregamos a cada parte de la desigualdad:

Ahora, para a > -1, 1 + a nunca es negativo. Por tanto, el | 1 + a | es lo mismo que (1 + a ). Esto significa:

y

Ahora comprobamos cada uno de los puntos finales. Sin mostrar los detalles, cuando sustituimos x = -1 en la serie, obtenemos el negativo de la serie armónica, que no converge. Por tanto, x = -1 no es parte del intervalo. Si sustituimos 1 + 2 a en la serie, obtenemos una serie armónica alternativa que converge. Por tanto, se incluye 1 + 2 a . El intervalo de convergencia es -1 < x ≤ 1 + 2 a para a > -1.

Digamos que queremos una aproximación de la serie de Taylor para ln (1 + x ) sobre a = 2. Entonces, la serie convergerá para los valores de x dentro del intervalo de convergencia. El punto de la izquierda es -1 y el punto de la derecha es 1 + 2 a = 1 + 2 (2) = 5. Por lo tanto, esperamos una buena coincidencia con la función cuando -1 < x ≤ 5.

Serie de Taylor en a = 2

La función ln en azul se aproxima a los primeros 6 términos de la serie de Taylor sobre a = 2 (en verde). Como predice el intervalo de convergencia, estas dos curvas son cercanas entre -1 y 5. Incrementar el número de términos en la suma mejorará la convergencia en x = 5, pero nunca habrá convergencia en x ≤ -1. Por tanto, nuestra elección de a nos permite centrarnos en un intervalo de interés siempre que a > -1.