Rodrigo Ricardo

Series aritméticas y geométricas: problemas de práctica

Publicado el 18 septiembre, 2020

Introducción a los problemas de práctica

Ahora que está familiarizado con las series aritméticas y geométricas , es hora de poner a prueba sus habilidades con algunos ejemplos más. Necesitaremos recordar los dos atajos para encontrar series aritméticas y geométricas. Estas dos fórmulas son todo lo que necesitamos para estos ejemplos. Habiendo dicho eso, estos problemas son un poco más abstractos que los que ya hemos hecho en lecciones anteriores, por lo que tendrás que pensar un poco antes de conectar los números y terminar.


Fórmulas para encontrar series aritméticas y geométricas
Fórmulas aritméticas de series geométricas

Por eso, puede ser una buena idea pausar el video después de haber terminado cada ejemplo (tal vez rebobinarlo hasta el principio), escribir el problema e intentar hacerlo usted mismo sin mi ayuda. De esta manera, se evaluará a sí mismo para asegurarse de que comprende lo que le hace cada pregunta antes de pasar a la siguiente.

Problema de práctica n. ° 1

Entonces, echemos un vistazo a nuestro primer ejemplo. Veo una sigma, que me dice que estoy tomando una suma, y ​​luego la regla (directamente a la derecha de eso) parece y = mx + b . Entonces, sé que es una suma aritmética, lo que significa que voy a usar esta fórmula: sigma = (n / 2) (a_1 + a_n) . Pero, una vez hay una diferencia en este problema que no hemos visto, y es que la suma no comienza en n = 1 , comienza en n = 3 .

Eso va a cambiar dos cosas sobre cómo usamos la fórmula para resolver este problema. Primero, en la fórmula, a_1 es el primer término de la serie, pero en este caso, no estoy sustituyendo n = 1 por mi primer término, estoy sustituyendo n = 3 . En este problema, sustituiremos a_1 con a_3 porque a_3 es el primer término de mi serie.

En segundo lugar, la n en la parte n / 2 de esta fórmula representa el número de términos de la serie. En este caso, no es tan fácil como sustituir n_11 . Ya que estoy comenzando en 3 y subiendo hasta 11 , en realidad no hay 11 entradas diferentes en esta serie. Como empiezo en el 3 , me salto los números 1 y 2 . Entonces, en realidad hay solo 11 – 2 términos, que son 9 términos en esta serie.

Un error común es hacer 11 – 3 = 8 (entonces el número de arriba menos el número de abajo y eso le daría 8 ), pero eso sería incorrecto porque implicaría que estamos excluyendo 3 (porque estaríamos restando 3 lejos). Queremos incluir 3 , por lo que deberíamos hacer 11 – 2 = 9 , porque solo la primera y la segunda entrada son las excluidas. Así es como obtenemos 9 .


Problema n. ° 1 con todas las sustituciones de valores correctas
Problema 1 Sustituciones correctas

Ahora que hemos sustituido todos los valores correctos, es fácil evaluar la fórmula. Entonces, a_3 lo encontramos al sustituir 3 por nuestra fórmula 4n + 1 . Y, a_n es nuestro último término, entonces en este caso sustituiremos 11 en la fórmula y terminaremos con: (9/2) * ((4 (3) + 1) + (4 (11) + 1) ) . Ahora, resuelva el problema y multiplique por 4.5 y encontrará que la suma es 261 .

Problema de práctica n. ° 2

Nuestro segundo ejemplo es un problema verbal muy común que dice así: una pelota se deja caer desde una altura desconocida (h) y rebota repetidamente en el suelo. Después de cada rebote, la pelota alcanza una altura que es 3/4 de la altura desde la que cayó anteriormente. ¿Cómo podríamos representar la distancia que la pelota rebota entre el primer y el octavo rebote con notación sigma?

Hay algunas cosas a tener en cuenta aquí. Primero es que esta es una secuencia geométrica , porque encontramos cada nueva altura multiplicando la anterior por 3/4 .

En segundo lugar, cuando la pelota comience a rebotar, no solo rebotará hacia arriba, sino que también rebotará hacia abajo. Realiza dos viajes para todos sus diferentes rebotes.

Por último, solo se nos pregunta la distancia que recorre entre el primer y el octavo rebote. Eso significa que no queremos incluir la caída inicial o el octavo rebote.

Entonces, ahora sabemos toda la información que deberíamos necesitar. Podemos empezar a escribir nuestra expresión. Comencemos con la regla que representa la situación. Es una secuencia geométrica, por lo que es (a_1) * (r_n – 1) = a_1 ((1 – r_n) / (1 – r)) . Mi a_1 (el punto de partida inicial) es h porque de ahí es de donde lo soltamos, y mi ración común r es 3/4 porque llega a 3/4 de la altura con cada rebote.


La solución al problema n. ° 2
Problema 2 Solución

Ahora, puedo agregar la notación sigma delante de la regla y en este caso queremos ir del primer al octavo rebote. Entonces, pondré n = 1 en la parte inferior y 8 en la parte superior. Debemos tener en cuenta que no queremos incluir la caída inicial. Podríamos poner n = 2 en la parte inferior (que es una forma más elegante que debe conocer). En lugar de escribir n = 2 , podríamos cambiar el exponente a solo una n en lugar de n – 1 . Hacer eso haría lo mismo que si pusiéramos n = 2 aquí.

Tampoco queremos incluir el octavo rebote, por lo que tendremos que pasar de 8 a 7 . Por último, debemos tener en cuenta que sube y baja cada rebote, por lo que agregamos el número 2 delante de toda la regla. Terminamos con nuestra expresión.

Problema de práctica n. ° 3

Este ejemplo es otro problema clásico. ¿Cuál es la suma de todos los números enteros impares entre 1 y 201?

El truco de este problema requiere que te des cuenta de que los enteros impares (si los escribes) son en realidad solo una secuencia aritmética . Es un patrón que comienza en 1 y aumenta en 2 cada vez. Entonces, podría escribir una regla para esta secuencia diciendo que mi diferencia común es 2 y si retrocedemos al término cero, sería -1 , por lo que la regla para cualquier entero impar es 2n – 1 .

Ahora que sé que esta es una secuencia aritmética, puedo usar la fórmula de la serie aritmética . Para usar esta fórmula, necesito saber en qué término terminamos. Sé que es 201 , pero ¿qué término de la secuencia es ese? Como conozco la regla, puedo establecer una ecuación rápida para resolver eso. Puedo decir que 201 = 2n -1 , y podemos averiguar qué debe ser n . Puedo usar operaciones inversas para obtener la n por sí sola, por lo que n es 101 . Lo que significa que 201 es el 101º término de esta secuencia.

Entonces, cuando estoy agregando todas las entradas, simplemente estoy tomando esta serie del primer término al período 101 de 2n – 1 . Lo conectaremos a nuestra fórmula donde n es el número de términos en la secuencia ( 101 ) y 1 es el primer término y n es el último término ( 201 ). Resolviendo esto, encontramos que nuestra suma debe ser 10,201


Encontrar la solución al problema n. ° 3
Problema 3 Solución

Problema de práctica n. ° 4

Nuestro último ejemplo es probablemente el más abstracto que encontrará en un curso de álgebra universitaria. Simplemente nos dice que si una suma del primero al cuarto término de una secuencia es igual a 20 , ¿cuál debe ser la misma suma del primero al cuarto término 2a_n – 1 = ?

Echemos un vistazo a lo que nos dice: esta suma (del primero al cuarto) es 20 . Eso significa que cualesquiera que sean los términos ( a_1 + a_2 + a_3 + a_4 ) debe ser 20 . Pero lo que nos pide no es solo a_n , sino que busquemos 2a_n – 1 . En lugar del término a_1 , queremos 2a_1 -1 y 2a_1 – 1 y 2a_3 -1 y así sucesivamente. Cuando los sumamos, ¿qué obtenemos?

Lo que pide es exactamente lo que tenemos ahora. Puede que no sea obvio que sepamos cuál es la respuesta, pero debido a que la suma es conmutativa ( 2 + 3 es lo mismo que 3 + 2 ), puedo cambiar el orden de estos sin cambiar lo que es. Al agrupar juntos los unos términos ( 2a_1 + 2A_2 + 2a_3 + 2a_4 ) y los -1 s, obtenemos 2 (a_1 + a_2 + a_3 + a_4) – 4 . Entonces obtenemos la misma expresión que antes, solo que escrita de manera diferente.

Sé que a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 20 , así que ahora solo tengo 2 (20) – 4 = . ¡La suma que pide esto es 36 !

Resumen de la lección

Para revisar, al encontrar la suma que no comienza en n = 1 , asegúrese de ajustar la fórmula en consecuencia. En el término n / 2 , asegúrese de que n represente cuántos números está sumando. Y el a_1 ya no será a_1 , solo será el nuevo primer término (donde sea que comience tu serie).

Podemos cambiar un exponente en una serie geométrica de n – 1 a simplemente n para omitir el término inicial. Los números enteros impares son en realidad una secuencia aritmética y se pueden representar con la regla 2n – 1 y se representarían con la regla con solo 2n .

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