Simplificación de expresiones radicales con variables

Publicado el 31 octubre, 2020

¿Qué es una expresión radical?

Hay tres partes de una expresión radical que es importante comprender. El símbolo radical, que significa “raíz de”, distingue las expresiones radicales de otros tipos de expresiones. El número debajo del símbolo radical se llama radicando , que es el número o expresión de la que está encontrando la ‘raíz’, mientras que el número más pequeño escrito con el símbolo radical se llama índice . Si no hay ningún número escrito como índice, se implica que el índice es dos. En este caso, tomaría la raíz cuadrada del radicando. Si el índice es tres, sacaría la raíz cúbica del radicando.


Partes de un radical
Partes de un radical

Simplificando expresiones radicales

Una expresión radical se considera simplificada cuando no quedan factores de raíz perfectos en el radical. Por ejemplo, 36 no debe dejarse en un radical de raíz cuadrada porque 36 es un cuadrado perfecto y se simplificaría a seis. De la misma manera, la raíz cuadrada de x ^ 2 se simplificaría ax , porque x ^ 2 es un cuadrado perfecto.

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Ejemplos de cuadrados perfectos
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También es importante asegurarse de que no queden fracciones en un radical y que las fracciones no tengan radicales en su denominador.

Al simplificar expresiones radicales, hay dos propiedades que son especialmente útiles: la propiedad del producto de los radicales y la propiedad del cociente de los radicales.

La propiedad del producto de los radicales

La propiedad del producto de los radicales es útil cuando el radicando no es una raíz perfecta, pero tiene un factor que es una raíz perfecta. En este caso, podemos sacar la raíz cuadrada de cada factor.


Propiedad del producto de los radicales
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Para simplificar la raíz cuadrada de 75, podemos factorizar 75 en 25 x 3, luego sacar la raíz cuadrada de cada factor. La raíz cuadrada de 25 es cinco y tres permanece en el radical porque no es un cuadrado perfecto.


Ejemplo de la propiedad del producto de radicales
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La propiedad del cociente de los radicales

La propiedad del cociente de los radicales es útil para los radicandos que son fracciones. El numerador y el denominador se pueden separar en sus propios radicales que se pueden simplificar.


Propiedad del cociente de los radicales
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Para simplificar la raíz cuadrada de 25/9, podemos sacar la raíz cuadrada de 25 y la raíz cuadrada de 9.


Ejemplo de la propiedad del cociente de radicales
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La respuesta simplificada puede permanecer como una fracción siempre que el denominador no tenga un radical. Si contiene un radical, el numerador y el denominador se pueden multiplicar por el radical que está en el denominador.

En el siguiente ejemplo, el denominador tiene una raíz cuadrada de 15. El numerador y el denominador de la fracción se multiplican por la raíz cuadrada de 15. Observa que el radical en el denominador se elimina porque la raíz cuadrada de 15 veces la raíz cuadrada de 15 es solo 15. Aunque hay un radical en el numerador, la expresión todavía se considera simplificada.


Simplificar una expresión con un radical en el denominador
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Radicandos con variables

El radicando puede ser un número, una variable o ambos. No importa cuál sea el radicando, el símbolo de radical se aplica a cada parte del radicando.

Para simplificar la raíz cuadrada de 36 x ^ 2, podemos sacar la raíz cuadrada de los factores, que son 36 y x ^ 2.


Ejemplo con un radicando que es un cuadrado perfecto
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En el siguiente ejemplo, encontraremos la raíz cuadrada de un radicando que no es un cuadrado perfecto. Primero, buscamos factores que sean cuadrados perfectos y aplicamos la propiedad del producto. Dieciséis es un factor de 160 y y ^ 2 es un factor de y ^ 3. Los factores que son cuadrados perfectos se simplifican. Los factores restantes que no son cuadrados perfectos permanecerán en el radical.

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Ejemplo con un radicando que no es un cuadrado perfecto
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Veamos un ejemplo que tiene una fracción como su radicando.


Ejemplo de un radicando que es una fracción
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Primero, aplicamos la propiedad del cociente para separar el numerador y el denominador en dos radicales. A continuación, comprobamos si se pueden simplificar. El numerador contiene factores que son cuadrados perfectos, por lo que se pueden simplificar. Sin embargo, el denominador no contiene cuadrados perfectos, por lo que no se puede simplificar.


Simplificar un radicando que es una fracción
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Recuerda que una expresión simplificada no puede tener un radical en el denominador. Para resolver esto debemos multiplicar el numerador y denominador por el radical.


Simplificando cuando hay un radical en el denominador
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Resumen de la lección

Una expresión radical consta de un símbolo radical , un índice y un radicando . El radicando puede ser un número, una variable o ambos. La expresión se considera simplificada cuando el radicando no tiene un factor de raíz perfecto y el radicando no es una fracción. Si la expresión simplificada es una fracción, puede tener un radical en el numerador, pero no en el denominador. Las estrategias para simplificar expresiones radicales incluyen identificar raíces perfectas y aplicar la propiedad del producto y la propiedad del cociente de los radicales.

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