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Sistemas inconsistentes y dependientes: uso de la eliminación gaussiana

Publicado el 2 noviembre, 2020

Sistemas inconsistentes y dependientes

Esta lección en video trata sobre sistemas o colecciones de ecuaciones inconsistentes y dependientes. ¿Qué son? Los sistemas inconsistentes son aquellos sistemas que no tienen solución. DependienteLos sistemas son aquellos sistemas que tienen un número infinito de soluciones. Piense en inconsistente y dependiente como un semáforo. Un semáforo inconsistente nunca funciona cuando llegas allí. Obtienes una luz roja cada vez que llegas allí y ves que todos los demás autos se van, pero tu luz sigue en rojo. Esperas varias rondas y tu luz sigue en rojo. Después de un tiempo, evita este semáforo inconsistente porque sabe que no llegará a ninguna parte. Un semáforo dependiente, por otro lado, siempre le da luz verde a tiempo. Confía en este semáforo una y otra vez porque sabe que cuando llegue allí, obtendrá una luz verde. Entonces, si bien nunca irá a un semáforo inconsistente, ya que no tiene soluciones para usted,

¿Por qué debería aprender sobre estos? Se encontrará con este tipo de sistemas a medida que avance en sus clases de matemáticas. Una vez que observe que el sistema con el que está trabajando es inconsistente o dependiente, puede decir que el sistema no tiene una solución única porque no tiene solución o tiene un número infinito de soluciones. ¿Qué causa estas situaciones? Para el escenario del sistema inconsistente, esto sucede cuando al menos dos de las ecuaciones no se cruzan cuando se grafican. Esto significa que nunca se encuentran ni se tocan. Entonces, para las líneas, significa que al menos dos de las líneas son paralelas. En el caso de los aviones, significa que al menos dos de los planos son paralelos entre sí. Para un sistema dependiente, significa que todas las ecuaciones grafican la misma línea o plano. Como todas las ecuaciones son iguales, no existe una solución única. En lugar,

Eliminación gaussiana

Ahora que sabemos qué son los sistemas inconsistentes y dependientes, podemos preguntarnos si podemos usar la eliminación gaussiana para ayudarnos a resolverlos. La eliminación gaussiana es el proceso de convertir el sistema de ecuaciones en una matriz, luego usar operaciones matriciales para cambiar la matriz a una forma escalonada de fila donde la diagonal inferior es todo ceros. En este punto, podemos usar la última ecuación para resolver la última variable. Luego podemos sustituir esta respuesta y sustituirla en la penúltima ecuación para encontrar la siguiente variable. Seguimos trabajando en nuestro camino de regreso hasta que tengamos todas nuestras variables. Tómese un momento para actualizar sus habilidades de eliminación gaussiana si es necesario. Por supuesto, la eliminación gaussiana funciona si tenemos una solución única, pero ¿funcionará esto para sistemas inconsistentes o dependientes?

La respuesta corta es no, no funcionará. ¿Por qué no funciona? ¿Qué sucede cuando intentamos resolver este tipo de sistemas utilizando la eliminación gaussiana? Veamos un par de ejemplos para ver qué sucede.

Solución de sistema inconsistente

Primero veamos un sistema que es inconsistente. Veamos qué sucede cuando le aplicamos la eliminación gaussiana.

sin solución gaussiana

Aplicando la eliminación gaussiana, creamos nuestra matriz escribiendo los números asociados con las variables, así como los números constantes. Obtenemos esta matriz aumentada:

sin solución gaussiana

Queremos eliminar el 1 inicial en la segunda fila y el 1 inicial en la tercera fila. Para eliminar el 1 en la segunda fila, podemos continuar y restar la primera fila de la segunda para crear una nueva segunda fila. Obtenemos 0, 0, 0, 3. ¡Espera, espera, espera! ¿Es esto siquiera posible? Si traducimos esta fila nuevamente a la forma de ecuación, obtenemos 0 = 3. ¿Es esta una declaración válida? No, no es. Qué significa eso? Significa que no podemos continuar porque no existe una solución única.

Vemos que para los sistemas inconsistentes, cuando intentamos usar la eliminación gaussiana, terminamos con una declaración falsa. Eso nos dice que no existe una solución única y que no podemos continuar.

Solución de sistema dependiente

Bueno, ¿qué pasa con el caso del sistema dependiente? ¿Qué sucede cuando intentamos utilizar la eliminación gaussiana para este tipo de sistema? Vamos a ver.

sin solución gaussiana

Primero cambiamos esto a forma de matriz:

sin solución gaussiana

Aplicando la eliminación gaussiana, necesitamos hacer que el comienzo 1 en la segunda fila sea 0, y necesitamos hacer el primer 4 y luego el -8 en la tercera fila 0. Podemos hacer que el comienzo 1 en la segunda fila sea 0 multiplicando el segunda fila por -2 y luego agregarla a la primera fila para crear una nueva segunda fila. Haciendo esto obtenemos 0, 0, 0 y 0. Está bien, eso es interesante. No es una declaración falsa, así que sigamos.

Para la tercera fila, podemos multiplicar la primera fila por -2 y agregarla a la tercera para obtener una nueva tercera fila. Haciendo esto obtenemos 0, 0, 0 y 0 para la nueva tercera fila. Hmm. Eso también es interesante. Esto me deja solo con una ecuación en la parte superior ya que las otras dos ecuaciones son 0 = 0, lo que no significa nada. Bueno, tenemos que detenernos porque vemos que no podemos ir más lejos para obtener una solución única.

Si toma estos mismos sistemas y prueba otros métodos para resolverlos, se encontrará con otros obstáculos. Todo significa que no existe un método para resolver sistemas inconsistentes o dependientes porque no existe una solución única que se pueda encontrar.

Resumen de la lección

Repasemos lo que hemos aprendido ahora. Aprendimos que los sistemas inconsistentes son aquellos que no tienen solución, y los sistemas dependientes son aquellos que tienen un número infinito de soluciones. La eliminación gaussiana, un método para resolver sistemas de ecuaciones, no se puede utilizar para resolver sistemas inconsistentes y dependientes. Debido a que ningún tipo de sistema tiene una solución única, no se puede usar ningún método para resolverlos. Todos producirán resultados que no significan nada o que no tienen sentido.

Los resultados del aprendizaje

Cuando termine esta lección, debería poder:

  • Describir sistemas inconsistentes y dependientes.
  • Explique por qué no se puede utilizar la eliminación gaussiana para resolver estos sistemas.

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