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Tasas relacionadas: El problema de la distancia entre los puntos móviles

Publicado el 1 octubre, 2020

Problema de dos trenes


Conectar las velocidades del tren al problema muestra que la distancia está cambiando a una velocidad de -75 mph
Problema de tren 1

Recuerde ese problema del que todo el mundo siempre se burla: si un tren sale de Kentucky a las 2 pm y otro sale de Sacramento a las 4 pm, y la alineación de las lunas es tal que todo va a 5 mph, ¿cuándo cruzarán? Vamos a hacer un problema similar, pero un poco más razonable. Imagina que tienes dos trenes que se dirigen uno hacia el otro. El tren 1 se dirige hacia el este a 30 mph y el tren 2 se dirige hacia el oeste a 45 mph. Van a comenzar a 100 millas de distancia. ¿A qué distancia estarán en una hora? ¿Cuándo se cruzarán?

Como queremos saber a qué distancia van a estar y cuándo se cruzan (cuando la distancia entre ellos es cero), queremos escribir que la distancia entre ellos es igual a la posición del Tren 2 menos la posición del Tren 1, l = x sub 2 – x sub 1. Ahora tenemos la distancia entre ellos, que llamaré l . Aquí vamos a utilizar una tasa relacionada . Vamos a relacionar la distancia entre ellos con cada una de sus velocidades. Voy a tomar la derivada del lado izquierdo y derecho de esta ecuación, y obtendré dl / dt (cómo cambia su distancia en función del tiempo) = dx (sub 2 / dt ) – dx(sub 1 / dt ), qué tan rápido va el tren 2 menos qué tan rápido va el tren 1. Si conecto la velocidad del Tren 2 y la velocidad del Tren 1, encuentro que la distancia cambia a una velocidad de -75 mph.

Si utilizo una separación de variables para resolver esta ecuación diferencial, si obtengo todas las t variables en el lado derecho y todas las l variables en el lado izquierdo, obtengo dl = -75 dt . Si integro ambos lados, encuentro que l = -75 t + C . Porque empiezan a cabo cuando el tiempo es igual a cero a una distancia de 100 millas de distancia, puedo resolver este l ecuación para C . Entonces 100 = (- 75) (0) + C , eso significa C = 100 millas. Lo que termino con una ecuación de qué tan separados están en función del tiempo: l = -75 t + 100. Después de una hora,t = 1, encuentro que l tiene 25 y están a 25 millas de distancia. Se cruzan cuando l = 0, cuando t = 1,3 horas.


En el segundo problema del tren, la velocidad 1 es negativa porque el tren 1 se mueve hacia la izquierda
Problema de tren 2

Otro problema de dos trenes

Si el Tren 1 da la vuelta y comienza a dirigirse hacia el oeste a 30 mph en lugar de dirigirse hacia el Tren 2, y aún comienzan a 100 millas de distancia, ¿a qué distancia estarán en una hora? ¿El Tren 2 pasará alguna vez al Tren 1?

Nuevamente, voy a escribir la distancia entre los dos trenes como l = x sub 2 – x sub 1. Voy a tomar la derivada de los lados izquierdo y derecho. Esta vez, después de encontrar dl / dt = ‘dx (sub 2 / dt ) – dx (sub 1 / dt ), y conecto la velocidad 1 y la velocidad 2, la velocidad 1 será negativa porque el tren 1 se está moviendo hacia la izquierda (la misma dirección en la que se mueve el Tren 2). Entonces dl / dt = (-45) – (-30) o dl / dt= -45 + 30. Esto significa que la distancia entre ellos cambia a una velocidad de -15 mph. Nuevamente, usando el hecho de que en el tiempo 0 están separados por 100 millas, puedo resolver esta ecuación y encontrar que l = -15 t + 100. Esto significa que después de una hora, los dos trenes estarán separados por 85 millas. Después de 6,7 horas, el tren 2 adelantará al tren 1; Puedo resolver esta ecuación para t cuando l = 0. Pero, ¿y si la distancia no es en línea recta?


La ecuación muestra cómo cambia la altura con respecto a qué tan rápido se aleja el camión de bomberos
problema de escalera de incendios

Problema de escalera de incendios

Digamos que está ayudando a los bomberos. Estás en la escena de un incendio y estás subiendo una escalera de 10 metros; estás en la cima. La escalera está unida al camión de bomberos y el camión de bomberos está a 3 m del edificio. Así que está bastante cerca del edificio. Si el camión de bomberos comienza a alejarse a 2 m / seg, ¿qué tan rápido se deslizará por la pared?

Observa que este es un triángulo rectángulo y la hipotenusa es de 10 m. Siempre puedes escribir x ^ 2 + y ^ 2 = 10 ^ 2. Ahora desea una tasa relacionada entre dx / dt (qué tan rápido se aleja el camión de bomberos) y dy / dt (qué tan rápido se desliza por esta pared). Tomemos la derivada de ambos lados de este teorema de Pitágoras . Obtengo: 2 x ( dx / dt ) + 2 y ( dy / dt ) = 0. Puedo dividir ambos lados entre 2 y restar y ( dy / dt ), y encuentro que x ( dx / dt ) = – y ( dy / dt). Así es como mi altura ( dy / dt ) está cambiando con respecto a qué tan rápido se aleja el camión de bomberos ( dx / dt ). Veamos qué tan rápido me deslizo por la pared. El camión de bomberos se está alejando de la pared a 2 m / seg. Eso significa que dx / dt es 2 m / seg, y x es 3 m, porque esa es la distancia a la que está el camión de bomberos de la pared. Mi ecuación se reduce a 6 = – y ( dy / dt ).

Todavía tengo una ecuación y dos incógnitas. ¿Qué es y y qué es dy / dt ? Realmente quiero saber qué es dy / dt , pero para resolver esta ecuación, primero tengo que averiguar qué es y . Volveré a utilizar el teorema de Pitágoras. Recuerde, x ^ 2 + y ^ 2 = 10 ^ 2 en este caso. Si x = 3, entonces esta ecuación se convierte en 9 + y ^ 2 = 100. Puedo resolver esto para y . Será igual a la raíz cuadrada de 91. Así que soy la raíz cuadrada de 91 m en el aire. Si conecto esto a mi ecuación de tasa relacionada, eso es 6 = – y ( dy / dt), luego descubro que me estoy deslizando por la pared a una tasa de -6 / la raíz cuadrada de 91. Así que me estoy deslizando por esta pared a una tasa de .06 m / seg.


El camión está a 3 m de la pared y se aleja a una velocidad de 2 m / seg.
Problema de escalera de incendios Visual

Resumen de la lección

Repasemos de nuevo las tasas relacionadas . En tasas relacionadas, vas a tener una relación que conoces. En un problema, es mi altura en función de la distancia entre el camión de bomberos y la pared. Otra relación es la distancia entre dos trenes, dependiendo de la posición de estos dos trenes. Luego, diferenciará esta relación para encontrar cómo estas variables están cambiando entre sí.

Cuando distingo la ecuación que relaciona mi altura con la distancia del camión de bomberos a la pared, puedo averiguar cómo va a cambiar mi altura a medida que el camión de bomberos se aleja del edificio. De manera similar, cuando distingo la ecuación del tren con la distancia entre los trenes, puedo encontrar cómo cambia la distancia con respecto a las velocidades del tren. Estos se denominan tasas relacionadas.

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