Teorema de la bisectriz de ángulo: prueba y ejemplo

Teorema de la bisectriz de ángulo

Es hora de jugar al detective. Hay un teorema que involucra bisectrices de ángulos y triángulos que suena un poco sospechoso. Investiguemos un poco y veamos qué podemos encontrar.

Aquí está el triángulo ABC:

La línea de A a BC es la bisectriz del ángulo.

Este siempre fue un buen triángulo, nunca se metió en problemas. Un día, se mezcló con una bisectriz de ángulo. Así es, esta línea de A a BC. Etiquetamos el punto donde la bisectriz del ángulo golpea BC como el punto D. Como es una bisectriz de ángulo, biseca el ángulo desde el que se dibujó.

Eso significa que el ángulo BAD es congruente con el ángulo CAD. Todo parecía genial para el triángulo … al principio. Se dijo que había un teorema que podíamos usar: el teorema de la bisectriz del ángulo. Pero sonaba demasiado bueno para ser verdad. El teorema de la bisectriz de ángulo establece que una bisectriz de ángulo divide el lado opuesto de un triángulo en dos segmentos que son proporcionales a los otros dos lados del triángulo. En otras palabras, AB / BD = AC / CD.

¿Cómo puede ser eso cierto? La bisectriz de ángulo forma dos triángulos más pequeños que son proporcionales entre sí. Alguien tenía que demostrar el teorema, y ​​ahí es donde entramos nosotros.

Demostrar el teorema

Todos queríamos que el teorema fuera cierto. ¿Pero es? Tendremos que ensuciarnos un poco las manos para averiguarlo. Para empezar, extendamos un poco más nuestra bisectriz de ángulo, AD. Ahora agreguemos una línea que es paralela a AB que llega al punto C y cruza nuestra bisectriz extendida. Etiquetaremos este punto como F.

Ya casi no podemos reconocer al pobre y viejo triángulo ABC. Es triste, lo sé. Pero esto es lo que quería el triángulo. Y, créame, si queremos demostrar que AB / BD = AC / CD, tenemos que romper algunos huevos. Bueno, al romper huevos, me refiero a agregar líneas y esas cosas.

Bien, es hora de empezar a juntar las piezas. Sabemos que el ángulo BAD es igual al ángulo DFC. ¿Por qué? Si AB y FC son paralelos, entonces estos son ángulos alternos internos y los ángulos alternos internos son iguales. Eso significa que el ángulo DFC también es igual al ángulo CAD. Recuerde, BAD y CAD son iguales debido a la bisectriz del ángulo.

Si miramos el triángulo ACF a continuación, tenemos dos ángulos iguales, lo que lo convierte en un triángulo isósceles. Entonces, AC = FC. Te dije que tendríamos que romper algunos huevos para resolver este caso. Y todavía no hemos llegado. Pero estamos cerca.

AC = FC

Veamos dos ángulos más. El ángulo ADB es congruente con el ángulo CDF. ¿Por qué? Son ángulos verticales. Y los ángulos verticales son congruentes.

Ahora mire esos dos pequeños triángulos de arriba, ADB y FDC, donde tenemos dos ángulos congruentes. Queremos estar seguros de hacer coincidir los ángulos rectos: A con F, D con D y B con C. Eso significa que podemos afirmar que el triángulo ADB es similar al triángulo FDC debido a la similitud ángulo-ángulo. Los triángulos semejantes están proporcionados entre sí. Sí, todos los puntos se están conectando ahora, ¿no es así? Entonces podemos decir que AB / BD = FC / CD.

AB / BD = FC / CD … eso parece familiar, ¿no? Si esta ecuación estuviera alineada, sería como nuestro teorema, pero tal vez lleva un bigote falso. ¿Y recuerdas lo que es FC? ¡C.A! Entonces, si lo cambiamos, obtenemos AB / BD = AC / CD.

¿Acabamos de demostrar nuestro teorema? Lo hicimos. ¿Somos detectives increíbles? Bastante.

Ejemplos

Entonces, esa es toda la prueba que necesitamos para este teorema de la bisectriz de ángulo. ¿Cómo se ve en la práctica? Aquí está el triángulo XYZ con la bisectriz de ángulo XS:

Triángulo XYZ

Digamos que sabemos que XY es 10 y XZ es 12. Si YS es 5, ¿cuál es ZS?

De acuerdo con el teorema de la bisectriz del ángulo, estos lados y segmentos están en proporción entre sí de esta manera: XY / YS = XZ / ZS. Simplemente conectemos lo que sabemos y resolvamos. Eso es 10/5 = 12 / x . Entonces, 10 x = 12 * 5. 12 * 5 es 60. Divida eso por 10 para obtener 6. Entonces, ZS es 6. ¡Gracias, teorema de la bisectriz de ángulo!

También podemos usar el teorema para determinar si una línea es o no es una bisectriz de ángulo. Considere este triángulo, MNO:

Triángulo MNO

Sabemos que MO es 21, NO es 28, MP es 15 y NP es 20. ¿OP es una bisectriz de ángulo? Si es así, entonces MO / MP = NO / NP. Probémoslo. Eso es 21/15 = 28/20. Si multiplicamos de forma cruzada, tenemos 21 * 20 = 15 * 28.

21 * 20 es 420. ¿Y 15 * 28? También 420. Entonces, OP es una bisectriz de ángulo. Caso cerrado.

Resumen de la lección

En resumen, hicimos un buen trabajo de detective aquí. Observamos el teorema de la bisectriz del ángulo . Este teorema establece que una bisectriz de ángulo divide el lado opuesto de un triángulo en dos segmentos que son proporcionales a los otros dos lados del triángulo. En el triángulo de abajo, eso es AB / BD = AC / CD.

Luego usamos el teorema para encontrar la longitud faltante en un triángulo con una bisectriz de ángulo. También usamos el teorema para determinar si una línea en un triángulo es o no es una bisectriz de ángulo.

Los resultados del aprendizaje

Una vez que haya completado esta lección, tendrá la capacidad de:

• Describe el teorema de la bisectriz del ángulo.
• Resumir cómo demostrar el teorema de la bisectriz de ángulo
• Utilice este teorema para encontrar la longitud de un lado faltante o determinar si una línea es una bisectriz de ángulo