Teorema del ángulo exterior: definición y fórmula

Antecedentes del teorema del ángulo exterior

Entonces todos sabemos que una línea recta mide 180 grados, y cuando dos ángulos se forman para crear una línea recta, también miden 180 grados. ¿Qué pasa si te dijera que hay un truco matemático genial que puedes usar cuando trabajas con un triángulo que aplica este simple hecho?

Ahora, antes de que te preocupes por la idea de que esta lección trata sobre un teorema, debes saber que, en este caso, un teorema es la forma elegante de decir regla. Puede seguir adelante y dar un suspiro de alivio al saber que no vamos a trabajar con ninguna prueba de dos columnas o intentaremos probar este teorema por contradicción. En cambio, nos centraremos en la fórmula en sí y en cómo podemos aplicar el teorema para resolver los ángulos faltantes de un triángulo.

Definición y fórmula

El teorema del ángulo exterior establece que el ángulo exterior formado cuando extiendes el lado de un triángulo es igual a la suma de sus ángulos no adyacentes. Recuerde, nuestros ángulos no adyacentes son aquellos que no tocan el ángulo con el que estamos trabajando. Entonces, cuando extendemos el lado de un ángulo, creando una línea recta que va más allá del triángulo, hemos creado un ángulo exterior, o exterior, que es igual a la suma de los dos ángulos dentro del triángulo que no toca.

Veamos el siguiente diagrama para poner esto en términos más simples.

El ángulo exterior teorema nos dice que la medida del ángulo D es igual a la suma de los ángulos A y B .

En forma de fórmula: m <D = m <A + m <B

Piense en nuestro hecho común de que una línea recta es igual a 180 grados. También debemos recordar que los ángulos de un triángulo también son iguales a 180 grados.

metro <A + metro <B + metro <C = 180

m <C + m <D = 180

Es posible que notes que cada ecuación es igual a 180. Debido a esto, podemos igualarlas entre sí.

m <A + m <B + m <C = m <C + m <D

Ahora, podemos cancelar el m? C porque aparece en ambos lados de nuestra ecuación para simplificarlo a:

m <A + m <B = m <D

Y así, volvemos a nuestra fórmula original para el teorema del ángulo exterior. Es así de fácil. Ahora bien, no es probable que alguna vez necesite probar realmente este teorema, pero siempre es bueno comprender por qué algo funciona antes de comenzar a aplicarlo.

Aplicación del teorema del ángulo exterior

Al observar este diagrama, se nos asigna la tarea de resolver el ángulo x faltante . Comencemos conectando primero nuestra información conocida a la fórmula del teorema del ángulo exterior.

x + 51 = m <D

Hmmm. Mirando esta ecuación, tenemos dos ángulos faltantes, ¿cómo se supone que vamos a resolver x si no tenemos la medida del ángulo D ? Puede que lo hayas adivinado, pero simplemente podemos encontrar nuestra medida del ángulo D aplicando nuestro conocimiento de una línea recta. Recuerde, al comienzo de la lección discutimos que dos ángulos que forman una línea recta equivalen a 180 grados. Usando este hecho, podemos restar 42 grados de nuestros 180 grados para obtener la medida del ángulo D. Esto significaría que m <D es igual a 138 grados.

x + 51 = 138

Eso se ve mucho mejor para que lo resolvamos ahora. Para hacer esto, debemos obtener nuestra variable; en este caso, el ángulo faltante x , por sí mismo restando 51 de ambos lados. Esto nos da una solución final de:

x = 87 grados

También se le puede dar un escenario en el que se le asigne la tarea de encontrar el ángulo exterior utilizando las medidas de los ángulos dentro del triángulo. Por ejemplo, eche un vistazo a este diagrama:

Sabemos que este es un triángulo isósceles debido a las marcas en dos de los lados del triángulo. Recuerde, un triángulo isósceles tiene dos lados y dos ángulos de igual medida. En este caso, podemos ver que los dos ángulos que faltan de nuestro triángulo son los dos que son iguales.

Primero debemos comenzar por encontrar la medida de estos ángulos faltantes porque son necesarios para nuestro teorema del ángulo exterior. Para hacer esto, etiquetemos cada uno de estos ángulos faltantes como y. Podemos hacer esto porque ambos son iguales. Conectando y en nuestra ecuación para la medida de un triángulo, obtenemos:

Entonces, ahora que sabemos que las medidas de nuestro triángulo son 46 grados, 67 grados, 67 grados, podemos pasar a usar nuestro teorema del ángulo exterior para resolver nuestro ángulo exterior faltante.

Resumen de la lección

El teorema del ángulo exterior establece que el ángulo exterior formado cuando extiendes el lado de un triángulo es igual a la suma de sus ángulos no adyacentes. El teorema nos dice que la medida del ángulo D es igual a la suma de los ángulos A y B.

En esta lección, no solo demostró por qué funciona el teorema del ángulo exterior, sino que también exploró cómo se puede aplicar para encontrar el ángulo faltante de un triángulo. Ahora que eres un experto, ¡puedes probar tus conocimientos con las preguntas del cuestionario adjuntas!