Teorema del valor medio para integrales

Publicado el 24 noviembre, 2020 por Rodrigo Ricardo

Promedios

Los promedios están en todas partes en la vida cotidiana. La temperatura promedio del cuerpo humano es 98.6 ° F. La tabla periódica de elementos contiene la masa atómica promedio de cada elemento. Los libros de calificaciones del maestro contienen la calificación promedio de cada estudiante. En esta lección, vamos a discutir un tipo especial de promedio que trata con integrales. Una integral es el área entre una función y el eje x. El teorema del valor medio es una forma de determinar el valor medio de una función entre los límites establecidos.

Teorema del valor medio

El teorema del valor medio establece que para cada integral definida, hay una forma rectangular que tiene la misma área que la integral entre los límites del eje x. Si este rectángulo se superpone sobre el gráfico de la función de modo que su ancho esté entre los límites del eje x, intersecará la función en el valor promedio de la función entre los puntos del límite del eje x. Pasemos directamente a un ejemplo para mostrar cómo funciona el teorema del valor medio.

Teorema del valor medio basado en gráficos

Tenemos una función y = x + 1, que se traza en el Diagrama 1.


Diagrama 1. y = x + 1
línea

Ahora establezcamos límites en el eje x entre x = 0 y x = 2 y sombreemos el área entre la función y los límites en el eje x. El diagrama 2 muestra esta área.


Diagrama 2. Área entre la función y el eje x entre x = 0 y x = 2
la

El área sombreada en azul es la integral de nuestra función entre x = 0 y x = 2. Ahora determinemos el área. Dado que es un trapezoide, podemos usar la ecuación de área de un trapezoide como se muestra en el Diagrama 3.


Diagrama 3. Área del trapezoide.
trampa

Si dibujamos un rectángulo con los mismos límites del eje x que tiene la misma área que acabamos de calcular, obtendríamos el rectángulo representado en el Diagrama 4, que se llama rectángulo de valor medio .


Diagrama 4. El cuadrado violeta tiene los mismos límites y área del eje x que la región sombreada en azul.
El punto amarillo muestra la intersección del cuadrado morado y la función.
s1

El valor promedio de la función entre x = 0 y x = 2 es donde el cuadrado púrpura se cruza con la función, que está en las coordenadas (1,2). Mirando hacia atrás en el Diagrama 4, podemos ver que esto está exactamente a medio camino entre x = 0 y x = 2 a lo largo de la función. Para probar esto numéricamente, conectaremos la intersección de la coordenada x en la función.

y = x + 1

y = 1 + 1

y = 2

Veamos cómo calcular el teorema del valor medio sin usar una gráfica.

Teorema del valor medio no basado en gráficos

La ecuación que usamos para el teorema del valor medio se muestra en la Ecuación 1.


Teorema del valor medio
mvt

  • f (x) es la función.
  • f (c) es el valor promedio de la función entre ay b.
  • un y b son los límites inferior y superior valor x respectivamente.

Resolviendo la Ecuación 1 para f (c) , obtenemos la Ecuación 2.


Ecuación 2. La ecuación para determinar el valor medio de una función entre dos valores de la coordenada x.
eq2

Usemos la misma función (y = x + 1) que usamos en el ejemplo original, pero usemos la Ecuación 2 para obtener el valor promedio de la función entre x = 0 y x = 2. Primero comenzamos con la Ecuación 2 y conectamos el función y límites.


Evaluar la coordenada y del valor medio de la función entre x = 0 y x = 2.
calc1

Observe que obtenemos el mismo resultado que obtuvimos cuando determinamos el valor medio gráficamente.

Hagamos otro ejemplo usando la función y = x 3 . Usaremos la Ecuación 2 para determinar la coordenada y del valor medio entre x = 0 y x = 4. Comenzamos el problema conectando la función y los límites del eje x.


Valor medio de la coordenada y entre x = 0 y x = 4
ex2

Resumen de la lección

Una integral es el área entre una función y el eje x. El teorema del valor medio es una forma de determinar el valor medio de una función entre los límites establecidos. Un rectángulo con la misma área que la integral definida de la función se llama rectángulo de valor medio . Se cruza con la función en el valor promedio de la función si se superpone entre los límites del eje x. La ecuación 2 da la coordenada y de las coordenadas del valor medio, que es este punto de intersección.


Ecuación 2
fc

Articulos relacionados