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Teoremas de acordes de círculos en geometría

Publicado el 1 noviembre, 2020

Acordes

En esta lección, echamos un vistazo a dos teoremas que involucran acordes en círculos. Definimos una cuerda como un segmento de línea que conecta dos puntos en la circunferencia del círculo. Así es como se ve un acorde.

acorde

Un acorde se puede ubicar en cualquier parte del círculo. De hecho, el diámetro de un círculo es una cuerda especial que pasa por el centro del círculo.

Los dos teoremas que veremos hoy son estos:

  1. Si el radio de un círculo es perpendicular a una cuerda en el círculo, entonces el radio biseca la cuerda.
  2. Dos acordes son congruentes si, y solo si, son equidistantes del centro del círculo.

Miremos más de cerca.

Cuerda perpendicular al radio

El primer teorema dice que si el radio de un círculo es perpendicular a una cuerda en el círculo, entonces el radio biseca la cuerda.

acorde

La prueba de este teorema se basa en la formación de dos triángulos congruentes. Primero, sabes que cuando tienes dos líneas perpendiculares, tendrás cuatro ángulos rectos. Todos estos ángulos son congruentes entre sí. Centra su atención en dos de estos ángulos rectos, específicamente el ángulo ADC y el ángulo BDC. Dices que estos dos ángulos son congruentes. Entonces dices que los segmentos de recta AC y BC son radios del círculo y, por lo tanto, son congruentes. El segmento de línea DC es congruente consigo mismo. Ahora tienes dos triángulos (triángulo ADC y triángulo BDC), donde sabes que dos de los lados son congruentes. Como sabes que dos de los lados son congruentes, significa que los triángulos son congruentes y, por lo tanto, el tercer lado es congruente. Este tercer lado pasa a ser el acorde. Dices que los segmentos de recta AD y DB son congruentes.

Acordes Equidistantes

El siguiente teorema establece que dos cuerdas son congruentes si, y solo si, son equidistantes del centro del círculo.

acorde

Para probar este teorema, debe tomar sus dos cuerdas equidistantes y dibujar dos radios perpendiculares, un radio a través de cada cuerda (radio CE y radio CH). Ahora vas a dibujar tus triángulos como lo hiciste con el teorema anterior. Ahora tienes cuatro triángulos rectángulos. Ahora, debido a que cada uno de tus triángulos tiene dos lados congruentes (lados CF y CD y todos los radios), puedes demostrar que el tercer lado también es congruente entre sí. Debido a que este tercer lado es congruente, ahora puedes demostrar que los acordes GI y AB son congruentes. Y ahí tienes que dos acordes equidistantes son congruentes entre sí.

Ejemplos

¿Cómo puedes usar estos dos teoremas? Puedes usar el primer teorema para ayudarte a determinar la medida de un segmento de línea. Por ejemplo, digamos que se le da que la cuerda AB es perpendicular al segmento de línea CE y que la medida del segmento de línea AD es 3. Necesita encontrar la medida de DB.

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Puede usar el primer teorema para determinar que los segmentos de recta AD y DB son congruentes. El radio CE es perpendicular al acorde AB, por lo tanto, el radio biseca el acorde y obtienes AD es igual a DB. Debido a que AD y DB son congruentes, ahora puede decir que el segmento de línea DB también mide 3, lo mismo que AD.

Puedes usar el segundo teorema de manera similar. Por ejemplo, supongamos que se le presenta este problema y se le pide que encuentre la medida del segmento de línea GF. Se le da que el acorde AB es igual a 10 y que los segmentos de línea CD y CF son congruentes y perpendiculares a los acordes AB y GI, respectivamente.

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Puede usar el segundo teorema para demostrar que debido a que las cuerdas AB y CF son equidistantes del centro del círculo, son congruentes. Eso significa que el acorde AB y el acorde GI miden ambos 10. Si GI mide 10, entonces el segmento de línea GF mide 5 porque GF es la mitad de GI (el primer teorema). ¡Y ya está!

Resumen de la lección

Revisemos. En esta lección, hablamos de acordes en círculos. Definimos una cuerda como un segmento de línea que conecta dos puntos en la circunferencia del círculo. Aprendimos sobre dos teoremas relacionados con estos acordes.

  1. Si el radio de un círculo es perpendicular a una cuerda en el círculo, entonces el radio biseca la cuerda.
  2. Dos acordes son congruentes si, y solo si, son equidistantes del centro del círculo.

Puede usar estos dos teoremas para ayudarlo a determinar la medida de varios segmentos de línea. También puede usar estos teoremas para determinar cómo se relacionan entre sí los acordes y los radios.

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