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Teoremas de desigualdad para dos triángulos

Publicado el 24 noviembre, 2020

Desigualdades en dos triángulos

Cuando intentas calcular las longitudes de los lados y las medidas de los ángulos de un triángulo, no estás limitado a mirar otras piezas de ese triángulo. A veces, también puedes usar piezas de otro triángulo para ayudarte a resolverlo. En esta lección, practicarás dos formas de hacerlo, usando dos teoremas sobre desigualdades entre dos triángulos.

El primer teorema es el teorema de desigualdad SAS o teorema de bisagra . El teorema de desigualdad SAS te ayuda a determinar un ángulo de un triángulo si conoces los lados que lo tocan. El teorema establece que si dos lados del triángulo A son congruentes con dos lados del triángulo B, y el ángulo entre ellos es mayor en el triángulo A, entonces el tercer lado del triángulo A es más grande. Si el ángulo entre ellos es más pequeño en el triángulo A, el tercer lado del triángulo A es más pequeño. El teorema de desigualdad SAS es básicamente una expansión del teorema SAS para demostrar que dos triángulos son congruentes. Mientras que el Teorema de congruencia SAS le informa sobre los casos en los que el lado, el ángulo y el lado son todos iguales, el Teorema de desigualdad SAS le informa sobre los casos en los que los ángulos son diferentes.

El segundo teorema es el Teorema de desigualdad SSS. El teorema de desigualdad SSS establece lo contrario del SAS. Si dos lados del triángulo A son congruentes con dos lados del triángulo B, y el tercer lado del triángulo A es más grande, entonces el ángulo entre los dos primeros lados también es mayor en el triángulo A. El teorema de desigualdad SSS es similar a la prueba SSS de congruencia. Probar congruencia significa probar que los tres lados son iguales; este teorema cubre lo que puede saber cuando uno de ellos es diferente.

Suena bastante complicado y difícil de entender, pero no se preocupe; su corteza es peor que su mordisco. Una vez que comienzas a trabajar en los problemas, se vuelve un poco más fácil.

Práctica de calentamiento

Comenzaremos con un simple problema de práctica solo para ayudarlo a tener todos los lados y ángulos rectos en su cabeza.

El lado X es congruente con el lado Q. El lado Y es congruente con el lado R. Si el lado S es más pequeño que el lado Z, entonces el ángulo B debe ser menor que…

Esta es una prueba bastante sencilla del teorema SSS. Aquí, tenemos dos pares de lados congruentes, cada uno con un ángulo entre esos lados. Sabemos que el tercer lado de cada triángulo es diferente: el lado S es más pequeño que el lado Z. Entonces, según el Teorema de desigualdad SSS, el ángulo B debe ser menor que el ángulo A, o menor que 90 grados.

Problema 1

Ahora veamos algo un poco más complicado.

La línea 1 y la línea 2 son perpendiculares. El lado RS y el lado SU son congruentes. El lado QS y el lado ST son congruentes. TU lateral debe ser mayor que …

(a) Lado QS
(b) Lado RQ
(c) Lado RS

Analicemos esto. A partir del ángulo marcado con 40 grados, sabemos que el ángulo RSQ = 40, porque cuando dos líneas forman una X, los ángulos opuestos son iguales. También sabemos que la línea 1 y la línea 2 se cruzan en ángulos de 90 grados. Entonces 40 + ángulo TSU = 90, lo que significa ángulo TSU = 50.

Ahora podemos usar el teorema de desigualdad SAS para resolver este problema. El problema nos dice que RS y SU son congruentes y que QS y ST son congruentes. Según el teorema de desigualdad SAS, dado que el ángulo UST es mayor que el ángulo RSQ, el lado UT debe ser más largo que el lado RQ.

Problema 2

¡Siguiente problema!

Los lados X y W son congruentes. El lado V es más largo que el lado Y. Si la suma de las medidas de los ángulos A y B es 88 grados, ¿cuál es el valor entero más grande posible del ángulo A?

En estos dos triángulos, tenemos dos pares de lados congruentes, cada uno con un ángulo entre ellos. El lado X es congruente con el lado W, y el lado Z es obviamente congruente consigo mismo. Entonces, según el teorema SSS, sabemos que si V es mayor que Y, entonces el ángulo B debe ser mayor que el ángulo A.

El problema también establece que A + B = 88. Pensemos en todos los pares de números que suman 88, donde uno es más pequeño que el otro. Podríamos tener A = 1 y B = 87. O, A = 5 y B = 83. O, A = 20 y B = 68. Pero tan pronto como alcanzamos A = 44, nos metemos en problemas. Si A = 44 B = 44, y eso no funciona porque sabemos que B tiene que ser mayor que A. Entonces A siempre tiene que ser menor que 44. El mayor valor entero posible sería A = 43 con B = 45.

Resumen de la lección

En esta lección, aprendió sobre dos teoremas. Ambos te ayudan a comparar dos triángulos. Según el teorema SSA o el teorema de la bisagra , si dos lados del triángulo A son congruentes con el lado correspondiente del triángulo B, y el ángulo entre esos dos lados es mayor en el triángulo A, entonces el tercer lado del triángulo A será más largo. que el lado correspondiente del triángulo B.

El teorema SSS está relacionado. Establece que si dos lados del triángulo A son congruentes con los lados correspondientes del triángulo B, y el tercer lado del triángulo A es más largo, entonces el ángulo entre los lados congruentes del triángulo A será mayor que el ángulo correspondiente en el triángulo B Son muchas palabras, pero empiezan a tener más sentido una vez que las pones en práctica.

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