Teoremas para encontrar medidas de ángulo y arco

Publicado el 24 noviembre, 2020

Medidas de ángulo y arco en círculos

Comencemos esta lección tratando de imaginar que está tratando de diseñar un logotipo para una nueva empresa que está creando. Quieres usar círculos y líneas para crear tu logo. Como eres un perfeccionista, querrás asegurarte de que estás usando los ángulos y arcos correctos en tu logo. ¿Sabías que existe una relación específica entre los ángulos y arcos que están formados por líneas y círculos?

Podemos encontrar la medida de los ángulos que se forman dentro, fuera y en un círculo si conocemos las medidas del arco. A la inversa, también podemos encontrar la medida de los arcos si conocemos ciertos ángulos que se forman dentro, fuera o en un círculo.

Algunos términos clave

Las líneas que se dibujan dentro y a través de círculos tienen nombres específicos. Quizás recuerde que un radio es la longitud de una línea trazada desde el centro de un círculo hasta un punto en el círculo. También puede recordar que un diámetro es un segmento de línea que se dibuja desde un punto en un círculo a otro punto, pero pasa por el centro. Otras líneas menos conocidas incluyen tangentes, secantes y acordes.

¿Alguna vez has escuchado a alguien decir que se desviaron por la tangente? Bueno, eso es porque si un círculo representa tu línea de pensamiento, y dejas tu línea de pensamiento y comienzas a hablar sobre otra cosa, te has desviado por la tangente. Una tangente es una línea que se cruza con un círculo en exactamente un punto.


Tangente
Tangente

Otra definición que tenemos que mirar es la línea que se traza a través de un círculo, que se llama secante . Una secante puede tener un punto final en un círculo, y el otro extremo de la línea continúa a través del círculo. Una secante también puede atravesar un círculo sin puntos finales.


Secante
secante

Luego hay un segmento que tiene extremos en un círculo, que se llama acorde . Se puede dibujar un acorde en cualquier lugar dentro de un círculo. Si la cuerda pasa por el centro de un círculo, entonces se llama diámetro.


Acorde
acorde

Cada una de estas líneas se puede utilizar para crear ángulos y arcos en un círculo. Existen reglas específicas para encontrar medidas de ángulos y arcos, según dónde se dibujen los ángulos y las líneas que se usen para dibujarlos. Las líneas crean arcos interceptados , que son los arcos formados por cuerdas, tangentes o secantes. En esta imagen, AB es el arco interceptado porque está interceptado por los acordes AC y CB.


Arco interceptado
arco interceptado

Ángulos formados dentro de un círculo

Los ángulos que se forman dentro de un círculo por dos cuerdas crean cuatro arcos en un círculo, que puede ver en este diagrama. La medida del ángulo es igual a la mitad de la suma de los arcos interceptados.

dentro

El ángulo x es igual a la mitad de la suma de los arcos interceptados. El arco interceptado a es el arco de C a D. El arco interceptado b es el arco de A a B. Para encontrar el ángulo, sumamos los arcos y dividimos por 2, como puede ver en esta fórmula.

fórmula interior

He aquí un ejemplo:

Calcula la longitud del ángulo x .

Ejemplo 1

Dado que este ángulo está dentro de un círculo formado por dos cuerdas, sumaremos los arcos y dividiremos por 2.

fórmula

responder

Esto, a su vez, nos da nuestra respuesta, que (como puede ver aquí) es de 145 grados.

Ángulos formados fuera de un círculo

Los ángulos que se forman fuera de un círculo se pueden formar de tres formas:

  1. Dos tangentes
  2. Dos secantes
  3. Tangente y secante


Dos tangentes
dos tangentes


Dos secantes
dos secantes


Tangente y Secante
tangente y secante

La fórmula para encontrar la medida del ángulo es la misma para los tres enfoques. El ángulo formado fuera de un círculo es igual a la mitad de la diferencia de los arcos interceptados más grandes y el arco interceptado más pequeño, como puede ver en nuestra fórmula que aparece aquí.

fórmula exterior

He aquí un ejemplo:

Encuentra la medida del ángulo formado por la tangente y la secante en esta imagen.

ejemplo 2

El arco más grande es de 205 grados y el arco más pequeño es de 55 grados. Todo lo que tenemos que hacer es restar y dividir por 2.

fórmula

responder

Como puede ver, esto nos da 75 grados para nuestra respuesta.

Arcos tangentes e interceptados

Los ángulos que están formados por una tangente y un arco interceptado se forman en el círculo. Están formados por una tangente y una cuerda.

tangente y acorde

Para encontrar la medida del ángulo, simplemente dividimos el arco entre 2.

fórmula

Veamos un ejemplo:

Encontremos la medida del ángulo.

Ejemplo 3

Como sabemos que el arco es de 110 grados, simplemente lo dividimos por 2, lo que nos da una respuesta de 55 grados.

fórmula

responder

Resumen de la lección

Dediquemos unos minutos a repasar lo que hemos aprendido en esta lección. Primero revisamos los términos de nuestro círculo. Que el radio es la longitud de una línea trazada desde el centro de un círculo hasta un punto en el círculo, mientras que el diámetro es un segmento de línea que se dibuja desde un punto en un círculo hasta otro punto, pero pasa por el centro.

Después de recapitular los términos básicos involucrados en la medición de cualquier cosa relacionada con los círculos, aprendimos que hay tres tipos de segmentos dentro de los círculos:

  1. Las tangentes son líneas que cruzan un círculo en un punto.
  2. Las secantes son líneas que cruzan un círculo en dos puntos, lo que significa que atraviesan el círculo.
  3. Los acordes son segmentos que tienen extremos en un círculo.

Hay tres tipos de ángulos que se pueden formar con estos segmentos. Todos los ángulos tienen fórmulas específicas.

  1. Ángulos formados dentro de un círculo por dos cuerdas: suma los arcos y luego divide por 2.
  2. Ángulos formados fuera de un círculo por dos segmentos cualesquiera: reste el arco más pequeño del arco más grande y luego divida por 2.
  3. Ángulos formados en un círculo por una tangente y una cuerda: divida el arco interceptado por 2.

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