Rodrigo Ricardo

Tipos de sistemas de ecuaciones

Publicado el 24 noviembre, 2020

Sistema de ecuaciones

Antes de llegar a los diferentes tipos de sistemas de ecuaciones, repasemos rápidamente la definición de un sistema de ecuaciones y sus soluciones. Un sistema de ecuaciones es un grupo de dos o más ecuaciones con las mismas variables. Una solución a un sistema de ecuaciones consiste en los valores de las variables que hacen que todas las ecuaciones del sistema sean verdaderas. Una solución a un sistema de ecuaciones también es un punto de intersección en las gráficas de las ecuaciones del sistema. Un conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones es el conjunto de todas las soluciones del sistema.

Consideremos un ejemplo para ilustrar esto. Suponga que está organizando una fiesta para recaudar fondos para su organización benéfica favorita. Cobra $ 10 por un boleto de adulto y $ 5 por un boleto de niño. Se presentan unas 258 personas y usted gana $ 2150. Puede utilizar esta información para averiguar cuántos adultos y cuántos niños había en la fiesta.

Si deja que un igual al número de adultos en el partido y ç igual al número de niños en la fiesta, entonces tiene que ser el caso de que un + c = 258, ya que hubo un total de 258 personas. También, que trajo 10 a dólares de las entradas de adulto y 5 c dólares de billetes de los niños. Dado que aportó $ 2,150 en total, 10 a + 5 c = 2,150, lo que nos da las siguientes dos ecuaciones:

a + c = 258

10 a + 5 c = 2150

Este es un sistema de ecuaciones utilizando las variables de una y c . Si enchufe en 172 para una y 86 para c , vemos que ambas de las ecuaciones son verdaderas.

172 + 86 = 258

10 (172) + 5 (86) = 2,150

Por lo tanto, a = 172 y c = 86 es una solución para este sistema. También vemos esta solución en la imagen a continuación, ya que las gráficas de estas dos ecuaciones se cruzan en el punto (172, 86).


Sistema de ecuaciones
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Como resultado de aplicar un sistema de ecuaciones a una situación del mundo real, sabemos que hubo 172 adultos y 86 niños en la fiesta. Ahora que hemos revisado qué es un sistema de ecuaciones, veamos los diferentes tipos de sistemas.

Sistemas consistentes e inconsistentes

Un conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones consta de todas las soluciones de ese sistema. Hay tres posibilidades para la solución establecida en un sistema.

1.) El sistema tiene un número finito de soluciones.

2.) El sistema tiene un número infinito de soluciones.

3.) El sistema no tiene soluciones.

Los sistemas de ecuaciones se dividen en dos categorías: sistemas consistentes y sistemas inconsistentes. Un sistema consistente de ecuaciones tiene al menos una solución. Un sistema inconsistente no tiene soluciones. De las tres posibilidades para el conjunto de soluciones de un sistema, las dos primeras representan un sistema consistente porque en ambos casos el sistema tiene al menos una solución. La tercera posibilidad representa un sistema inconsistente porque no hay solución para el sistema.

Por ejemplo, considere el ejemplo de nuestra fiesta de apertura. Vimos que el sistema tenía una solución. Por lo tanto, el sistema es un sistema consistente. También podemos ver esto en el gráfico de ese sistema. Si un sistema es consistente, tiene al menos una solución, por lo que se deduce que las gráficas de las ecuaciones del sistema se intersecarán al menos una vez. Dado que la gráfica de nuestro sistema muestra un punto de intersección, sabemos que el sistema es consistente.

Para ampliar nuestra comprensión, considere el siguiente ejemplo de un sistema inconsistente:

x ^ 2 + y ^ 2 = 1

y = x – 2

Observe que la gráfica de este sistema no tiene puntos de intersección. Por lo tanto, se deduce que el sistema no tiene solución y es un sistema inconsistente.


Sistema inconsistente
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Sistemas independientes y dependientes

Ahora, demos un paso más en la clasificación de nuestros tipos de sistemas. Como dijimos, un sistema es consistente cuando tiene al menos una solución. Podemos clasificar aún más estos sistemas consistentes. Cuando un sistema tiene exactamente una solución, decimos que el sistema es independiente . Nuestro ejemplo inicial de fiesta entraría en esta categoría porque el sistema tiene exactamente una solución. Por lo tanto, ese sistema es coherente e independiente.

Cuando un sistema tiene infinitas soluciones, lo llamamos dependiente . Quizás se pregunte qué significa para un sistema tener infinitas soluciones. Para demostrar este fenómeno, considere el siguiente sistema:

3 x – 5 y = 12

6 x – 10 y = 24


Sistema dependiente
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Cuando graficamos este sistema, como se muestra en la imagen de arriba, vemos que las dos ecuaciones tienen la misma gráfica. Debido a esto, las gráficas se cruzan en todas partes. Dado que el conjunto de soluciones consta de todos los puntos de intersección de las gráficas de las ecuaciones en el sistema, vemos que hay un número infinito de soluciones para este sistema. Así, diríamos que este sistema es consistente y dependiente.

Resumen de la lección

Un sistema de ecuaciones es un grupo de dos o más ecuaciones con las mismas variables. Una solución a un sistema de ecuaciones son los valores de las variables que hacen que todas las ecuaciones del sistema sean verdaderas. Una solución a un sistema también es un punto de intersección de las gráficas de las ecuaciones en el sistema. El conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones consta de todas las soluciones de ese sistema.

Hay tres posibilidades para el conjunto de soluciones de un sistema. Puede haber un número finito de soluciones, un número infinito de soluciones o ninguna solución. Cuando un sistema tiene al menos una solución, lo llamamos coherente , y cuando un sistema no tiene solución, lo llamamos inconsistente . Además, cuando un sistema es consistente y tiene exactamente una solución, lo llamamos independiente , y cuando un sistema es consistente y tiene infinitas soluciones, lo llamamos dependiente .

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