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Traducir descripciones verbales en ecuaciones con derivadas

Publicado el 24 noviembre, 2020

Punto fundamental de una derivada

Si bien puede parecer grande y aterrador al principio, todo el cálculo se creó para resolver dos preguntas muy básicas: ¿Cuál es nuestra tasa en este mismo instante? y ¿Qué tan lejos hemos llegado al ritmo al que hemos ido? En un mundo perfectamente lineal, no necesitaríamos cálculo. Por supuesto, las cosas no nos saldrían tan bien en un mundo perfectamente lineal. Nuestra velocidad en nuestros autos nunca cambiaría, nunca ganaríamos más de una cierta cantidad de dinero y nuestros cuerpos probablemente colapsarían debido a la incapacidad de cambiar las tasas de producción de ciertas sustancias.

En resumen, deberíamos estar felices de tener cálculo. Específicamente, estamos contentos de tener derivados , que nos permiten ver la tasa de cambio en un momento dado. Pero espera, todas esas cosas que acabo de describir no se parecen a la notación que estás acostumbrado a ver, ¿verdad? En cambio, obtienes d de y sobre d de x , f prima de x o y prima. Si necesita revisar cómo encontrar una derivada en primer lugar, es posible que desee consultar otras lecciones antes de continuar.

Si bien la notación puede salirse un poco de control, nos centraremos en el uso del cálculo, especialmente en la búsqueda de tasas. Afortunadamente para nosotros, todo lo que tenemos que hacer es encontrar la derivada.

De la derivada a la descripción verbal

Entonces, ¿cómo cambiamos una derivada en una descripción verbal? Primero, averigüe si estamos viendo una tasa que aumenta el valor o disminuye el valor. Afortunadamente para nosotros, eso es fácil: la mayoría de las funciones simplemente tendrán un signo negativo si están disminuyendo o serán positivas si están aumentando. Ahora bien, es posible que no siempre obtenga la derivada en el problema, pero recuerde, una derivada es simplemente una medida de la tasa de cambio.

Por lo tanto, nuestra derivada muestra la velocidad a la que algo está cambiando, y el signo frente a él muestra si se trata de un cambio positivo o negativo. Todo lo que tenemos que hacer es introducir un valor de x para la derivada para saber qué tan rápido va en un momento específico. Si introducimos un valor de x en la ecuación original, eso nos mostraría la posición.

Ejemplo

Entonces, digamos que estás viendo un cohete despegar, y su distancia desde la plataforma de lanzamiento se puede expresar mejor con la función y = x ^ 2, donde x es el número de segundos e y son metros. Es una función sencilla, y si ha estado siguiendo la clase de cálculo, sabrá que la derivada de esa función es y primo = 2 x . ¿Es un cambio positivo o negativo?

Si adivinó un cambio positivo, ¡estaría en lo cierto! Esto se debe a que esta derivada es positiva y creciente. Entonces, tienes esa función, ¿cómo la describes? Para el original y = x ^ 2, simplemente diríamos que la ecuación muestra la posición del cohete para el tiempo, x . Pero, ¿y si quisieras saber la velocidad?

Por suerte para nosotros, tenemos esa derivada. Simplemente inserta un valor para x en la derivada y te mostrará la velocidad en ese punto. Por ejemplo, si quisiéramos saber la posición y la velocidad del cohete a los 3 segundos, simplemente ingrese 3 en la fórmula adecuada. Eso significa que tiene una posición de 9 metros desde la plataforma de lanzamiento y una velocidad de 6 metros / segundo.

De la descripción verbal a la derivada

Bien, vimos cómo pasar de la derivada a comprender lo que sucede verbalmente. Ahora, intentemos averiguar la fórmula a partir de una descripción verbal. Aquí, es probable que tengas que resolver la derivada por tu cuenta. Tomemos la siguiente información verbal:

El cohete del problema anterior ahora se dirige hacia un satélite. Su distancia del satélite está indicada por la función y = -2 x ^ 2 + 20, donde x es el tiempo en segundos. ¿Qué derivada nos permitirá comprobar su velocidad en varios puntos?

Primero, ¿se aleja del satélite o se dirige hacia él? Dado que el signo es negativo, eso significa que se dirige hacia el satélite. A medida que aumenta nuestro tiempo x , nuestra distancia y disminuye. Entonces, si la fórmula es -2 x ^ 2 + 20, ¿cuál es la derivada? Recuerde, reste uno del exponente y multiplique el coeficiente por el valor anterior. Eso significa que la velocidad del cohete es -4 x . Este signo negativo significa que el cohete se está desacelerando a medida que se acerca al satélite.

Resumen de la lección

En esta lección exploramos las derivadas , que nos permiten observar la tasa de cambio en un momento dado. Específicamente, analizamos cómo pasar de los derivados a las descripciones verbales y viceversa. Para poder hacer esto, es fundamental reconocer que una derivada es una medida de la tasa de cambio en un instante específico. Trabajamos pasando de una derivada y poniéndola en palabras, y pasando de las palabras a encontrar la derivada para practicar la resolución de descripciones verbales que requieren el uso de una derivada.

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