Transformación de funciones exponenciales: ejemplos y resumen

La función exponencial básica

Una función exponencial es cualquier función donde la variable es el exponente de una constante. La función exponencial básica es f ( x ) = b ^ x, donde b es su constante, también llamada base para este tipo de funciones. Tenga en cuenta que esta base siempre es positiva para funciones exponenciales. Todas las demás funciones exponenciales se basan en la función exponencial básica.

Verá que diferentes funciones exponenciales agregarán números a la función exponencial básica en varias ubicaciones, y estos cambios producirán cambios en la gráfica también. Sin embargo, cuando grafica cualquier función exponencial, todas tendrán el mismo aspecto general, basado en el gráfico de la función exponencial básica. Dependiendo del cambio o transformación, el gráfico se puede desplazar hacia arriba o hacia abajo, hacia la izquierda o hacia la derecha, o incluso invertirse. Siga mirando e identificaremos las causas de estos cambios.

Primero, veamos cómo se ve la función exponencial básica graficada. Antes de mostrarte cómo se ve, quiero que pienses en exponenciales por un momento. ¿Qué sucede cuando aumentas el exponente? ¿No aumenta el valor de la función a un ritmo cada vez más rápido? Lo hace, por lo que verá la curva del gráfico hacia arriba rápidamente. Y mirando nuestro gráfico, vemos que sí.

La función exponencial básica.

Este gráfico en particular muestra el gráfico de f ( x ) = 2 ^ x. También observe que la gráfica cruza el eje y cuando el exponente es igual a 0. Para la función básica, es cuando x = 0 ya que nuestro exponente es x por sí mismo. Ahora veamos qué sucede con la gráfica cuando cambiamos ligeramente la función.

Reversiones

¿Qué podemos cambiar? Bueno, podemos cambiar el exponente a negativo para que nuestra función se convierta en f ( x ) = 2 ^ (- x ). ¿Qué pasa entonces? Piense en lo que le está sucediendo al exponente. El signo negativo esencialmente invierte nuestra variable. A medida que disminuye el valor de x y se vuelve más negativo, la función aumenta cada vez más rápidamente. ¿Por qué? Bueno, si conectamos un -2 para nuestra x, la función se convierte en 2 ^ – (- 2) = 2 ^ 2 ya que el negativo cambia el signo del exponente. Si conectamos un -3, la función se convierte en 2 ^ – (- 3) = 2 ^ 3. Cuanto más negativos seamos, más grande se vuelve nuestra función. Entonces su gráfico se invierte o se invierte.

Inversión de exponente negativo.

Desplazamientos verticales

Cuando suma o resta un número de la función básica, obtenemos cambios verticales. Piensa sobre esto. ¿Qué puedes hacer con la gráfica para que suba o baje? ¿No tendrías que sumar o restar algunos números? Si agregamos un 3 a nuestra función para obtener f ( x ) = 2 ^ x + 3, estaríamos desplazando nuestro gráfico 3 puntos hacia arriba. Puede pensar en esto como sumar 3 a cada punto de nuestro gráfico básico.

Cambiar hacia arriba.

Si restamos 4 de la función, ¿qué crees que pasará? Nuestro gráfico se desplazará 4 puntos hacia abajo. Básicamente, estamos restando 4 de cada punto de nuestro gráfico básico.

Cambiar hacia abajo.

Además, ambas gráficas cruzan el eje y cuando x = 0 ya que el exponente es solo x.

Desplazamientos horizontales

Cuando sumamos o restamos del exponente, la gráfica se mueve hacia los lados. Si sumamos un 2 al exponente, vemos que la gráfica se desplaza 2 puntos hacia la izquierda. ¿Por qué? Cuando cambiamos el exponente, estamos cambiando donde la gráfica cruza el eje y. Recuerda que la gráfica cruza el eje y cuando el exponente es 0. Entonces, si nuestro exponente tiene un 2 agregado, necesitamos restar 2 para volver a 0. Ir a la izquierda en el eje x nos dará ese menos 2 que nosotros necesitamos.

f (x) = 2 ^ (2 + x)

Si restamos 5 del exponente, nuestra gráfica se desplazaría hacia la derecha en 5 puntos. Nuevamente, se debe a que la gráfica se cruza cuando el exponente es igual a 0. Cuando restamos 5 del exponente, necesitamos sumar 5 para que vuelva a donde normalmente es igual a 0, de ahí el desplazamiento de 5 hacia la derecha.

Cambie a la derecha.

Resumen de la lección

¡Guauu! ¡Mira todo lo que hemos aprendido! Hemos aprendido que una función exponencial es cualquier función donde la variable es el exponente de una constante. Nuestra función exponencial básica es f ( x ) = b ^ x, donde b es nuestra base, que es una constante positiva. Todas las demás funciones exponenciales son modificaciones de esta forma básica.

Las transformaciones son cambios en el gráfico. Las transformaciones incluyen cambios verticales, cambios horizontales e inversiones de gráficos. Cambiar el signo del exponente resultará en una inversión o cambio de gráfico. Un exponente positivo hace que la gráfica se dirija al infinito a medida que x aumenta. Un exponente negativo hace que la gráfica se dirija al infinito a medida que x se hace más pequeña.

Sumar o restar números a la función resultará en cambios verticales, o hacia arriba y hacia abajo. Sumar números desplaza la gráfica hacia arriba. Restar números desplaza el gráfico hacia abajo. Sumar o restar números al exponente resultará en cambios horizontales o laterales. Sumar números al exponente desplaza la gráfica a la izquierda y restar números al exponente desplaza la gráfica a la derecha.

Los resultados del aprendizaje

Estudie y consulte esta lección si desea:

• Recordar el significado de una función exponencial básica
• Interpretar un desplazamiento de gráfico a lo largo del eje xo y
• Comprender la transformación de una gráfica basada en la modificación de la función original.
• Tenga en cuenta la correlación entre un signo negativo y la inversión de una variable
• Distinguir entre cambios horizontales y verticales