Transformaciones de la función 1 / x

El 1 / x Función

f ( x ) = 1 / x parece que debería ser una función simple, pero su gráfica es un poco complicada. Sin embargo, ¡no es tan malo como parece! Examinémoslo más de cerca.

1 sobre x función

Si sigue el comportamiento de la función de izquierda a derecha, puede ver que es una función decreciente , una función donde f ( x ) disminuye a medida que x aumenta. Eso tiene sentido porque x es el número en la parte inferior de una fracción. Cuanto mayor sea el denominador, menor será la fracción. Con números negativos, funciona de la misma manera.

Otro punto importante de esta función es que tiene dos asíntotas. Una asíntota es una línea a la que la función se acerca cada vez más, pero nunca se cruza. ¿Puedes identificar las asíntotas en este gráfico? En este gráfico, las asíntotas son los x eje x y la y eje y. La curva de la función se acerca cada vez más a los ejes, pero nunca los cruza del todo. Matemáticamente, puedes ver esto si miras la función:

• x nunca puede ser igual a cero porque entonces estarías dividiendo por cero, lo cual no funciona.
• y nunca puede ser igual a cero porque no puede dividir uno por nada para obtener cero. La única forma de dividir algo por otra cosa y obtener cero es si el cero está encima.

Deberá comprender todo eso para comprender el tema de esta lección, que son todas las diferentes transformaciones de la función f ( x ) = 1 / x . Podemos transformar esta función de muchas formas sumando o restando números a la ecuación en varios lugares.

1 sobre x cambios de función

Desplazamientos verticales y horizontales

Comenzaremos con algunas transformaciones bastante fáciles que mantienen el gráfico exactamente igual, pero lo desplazan un poco hacia arriba y hacia abajo. Si hace toda la división y luego agrega un número al final, moverá el gráfico hacia arriba. Si resta algún número, moverá el gráfico hacia abajo.

Conceptualmente, esto se debe a que estás haciendo todo el trabajo de división y luego agregas d al valor de y al final. Entonces, la división determina la forma de su gráfica, y d le da un valor de y más grande para cualquier x dada . Por ejemplo, aquí todo se desplaza hacia arriba en 5 unidades porque por cada valor de x obtienes el mismo valor que habrías obtenido para 1 / x , más 5 más.

1 sobre x función desplazamiento vertical de 5 unidades

Si agrega algún número ax en la parte inferior de la fracción, moverá la función horizontalmente sin cambiar su forma. Aquí es donde se pone diferente: si agrega c unidades, la función se moverá hacia la izquierda en c unidades. Si resta c unidades, la función se moverá a la derecha en c unidades.

¿Cómo funciona esto conceptualmente? Cuanto mayor sea la parte inferior de una fracción, menor será el valor total de la fracción. Por lo tanto, si toma algún valor x en la parte inferior de la fracción y le agrega un valor c , la fracción resultante tendrá un valor total menor que simplemente 1 / x .

Por otro lado, si resta algún valor de x , la fracción resultante será mayor. Entonces, para cualquier valor dado de x en nuestra fracción transformada, agregarle algo nos dará un valor menor de y , y restarle algo nos dará un valor mayor de y .

Otra forma de verlo es comenzar con los valores de y de 1 / x . Si quisiera obtener esos mismos valores de y de 1 / ( x + 5), tendría que restar 5 de cada valor de x . Entonces, para cualquier valor de y dado , el valor de x que lo lleva allí se mueve 5 unidades al lado negativo de la gráfica, que queda.

Estas dos transformaciones simples hacia arriba y hacia abajo desplazan las asíntotas de la función. f ( x ) = 1 / x + 5 tiene una asíntota en x = 5, no en x = 0. Eso es porque ahora podemos obtener un valor de 0 de esta función. Si sustituimos -1/5 para x , obtenemos f ( x ) = -5 + 5, que es igual a 0. Pero no podemos obtener 5 porque para obtener 5 1 / x tendría que ser igual a 0, que es imposible.

Transformaciones de pendiente

Ahora, vamos a ver las transformaciones que cambian la forma de la función, en lugar de su ubicación en el X y Y -axes. Comenzaremos con lo que sucede cuando multiplicas la parte superior de la fracción por algún número. Esto aplanará la función.

Pensemos en esto conceptualmente. Si a es mayor que 1, entonces para cualquier valor dado de x (1 * a ) / x será mayor que 1 / x . Entonces, cada valor de x en la nueva función genera un valor mayor de y que el mismo valor de x en la función original 1 / x .

Hasta ahora, parece lo mismo que hicimos al agregar un número a la función. ¡Pero eso no es todo! Puede ver, en la tabla de comparación, que multiplicar la función por una constante hace que se comporte de manera diferente a simplemente agregar una constante.

Tabla de comparación de funciones 1 over x

Cuando agrega una constante, la cantidad de disminución en el valor de y es la misma; estás comenzando desde un número más alto. Cuando multiplica por una constante, la cantidad de la disminución cambia. En otras palabras, la función cambia de pendiente a un ritmo diferente. Esto nos lleva a un cambio de forma: la función se estira y se vuelve más ancha y plana.

¿Qué hay de multiplicar la parte inferior de la fracción por algún número? En este caso, conceptualmente, será todo lo contrario. Cuanto mayor sea la parte inferior de la fracción, menor será f ( x ); es por eso que f ( x ) se vuelve más pequeño a medida que x aumenta. Entonces, ahora está haciendo que la parte inferior de la fracción sea aún más grande que solo x por sí sola, por lo que f ( x ) se volverá aún más pequeña, incluso más rápida.

1 sobre x función pendiente transformaciones multiplicación comparación

Y, de hecho, eso es exactamente lo que sucede. Las líneas se vuelven más comprimidas o más empinadas; se acercan a la asíntota más rápidamente en todas direcciones. Si multiplica la parte superior o la inferior por un número negativo, simplemente cambia la dirección de la función. Si está multiplicando por algo que no sea -1, déle la vuelta y luego haga el gráfico más plano o más inclinado según sea necesario.

Resumen de la lección

En esta lección, aprendió sobre la función f ( x ) = 1 / x . Es una función decreciente , que es una función donde f ( x ) disminuye a medida que x aumenta. Esta función tiene dos asíntotas. Una asíntota es una línea a la que la función se acerca cada vez más, pero nunca se cruza. También aprendiste que podemos transformar esta función de muchas formas:

• Agregar algún valor a la función después de hacer la división mueve el gráfico hacia arriba y hacia abajo en el eje y en esa cantidad de unidades.
• Al agregar algún valor ax antes de realizar la división, la gráfica se mueve a lo largo del eje x en esa cantidad de unidades.
• Multiplicar la parte superior de la función por algún valor la estira y la hace más plana.
• Multiplicar la parte inferior de la función por algún valor la comprime y la hace más inclinada.
• Multiplicar la parte superior o inferior por un valor negativo también cambia la dirección de la función.

Si se confunde, empiece por pensar conceptualmente: ¿qué está haciendo este cambio en x ? qué efecto tiene eso en y ; y ¿cómo cambiaría eso el gráfico?

Transformaciones de la función 1 / x: vocabulario y definiciones

Una asíntota es una línea a la que la función se acerca cada vez más, pero nunca se cruza.

Una transformación de función ocurre sumando o restando números a la ecuación en varios lugares. La transformación da como resultado el movimiento de la gráfica de la función.

Las transformaciones de una función sobre X son las siguientes:

Transformación	Función	Cambios en el gráfico
Agregar algún valor a la función después de la división	f ( x ) = 1 / x + d	mueve la gráfica hacia arriba y hacia abajo en el eje y esa cantidad de unidades.
Sumando algún valor ax antes de que se haga la división	f ( x ) = 1 / (x + c)	mueve la gráfica a lo largo del eje x en esa cantidad de unidades.
Multiplicar la parte superior de la función por algún valor	f ( x ) = (1 * a) / x	alarga el gráfico y lo hace más plano.
Multiplicar la parte inferior de la función por algún valor	f ( x ) = 1 / (b * x)	comprime el gráfico y lo hace más empinado.
Multiplicar la parte superior o inferior por un valor negativo	f ( x ) = -1 / x	cambia la dirección de la función.

Los resultados del aprendizaje

Después de completar esta lección, debería estar listo para hacer lo siguiente:

• Muestre cómo la función f ( x ) = 1 / x es una función decreciente con dos asíntotas
• Distinguir entre las cinco transformaciones de la función 1 / x y comparar gráficas de las transformaciones