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Transformaciones de similitud en las figuras correspondientes

Publicado el 22 septiembre, 2020

Dos figuras

Imagina que eres un artista famoso. Su ciudad lo contrató para construir dos juegos de figuras similares frente al ayuntamiento para una instalación de arte moderno. La ciudad quiere tener un par de triángulos similares y un par de rectángulos similares. En matemáticas, decimos que dos figuras son similares cuando las formas son iguales y la única diferencia es el tamaño.

Por ejemplo, un auto modelo es similar al auto de la vida real que modela. Una casa modelo es similar a la casa de la vida real que modela. Si el modelo está construido a escala, tiene las mismas proporciones que el objeto de la vida real; la única forma de diferenciarlos es que son de diferentes tamaños. Incluso si un objeto se gira de una manera diferente, aún puede ver que se ven iguales excepto por el tamaño.

¿Son similares?

Como artista de la ciudad ahora, debes reconocer cuándo dos figuras son similares. Estás mirando un par de triángulos y un par de rectángulos que has hecho. ¿Cuáles son los criterios para verificar si dos figuras son similares? Hay dos.

La primera es que los ángulos correspondientes son todos congruentes entre sí. Correspondiente significa que están ubicadas en el mismo lugar si las dos figuras se colocan de la misma manera. Por ejemplo, los ángulos rectos de dos triángulos rectángulos son ángulos correspondientes. Incluso si rotó un triángulo, ese ángulo recto sigue siendo el ángulo correspondiente al otro ángulo recto.

semejanza

El segundo criterio es que todos los lados correspondientes sean proporcionales entre sí. Esto significa que si un par de lados correspondientes tiene una proporción de 2: 1, lo que significa que una figura es dos veces más grande que la otra, entonces todos los demás lados correspondientes tendrán la misma proporción. Recuerde siempre simplificar estas razones como lo haría con las fracciones.

Puede ver que no es difícil detectar los ángulos correspondientes y los lados correspondientes cuando las figuras se colocan de la misma manera, pero ¿qué pasa si las figuras están dispuestas de manera diferente? Por ejemplo, puede ser un poco más difícil identificar las partes correspondientes entre dos triángulos cuando un triángulo se gira de manera diferente, se invierte o incluso se aleja del otro triángulo.

Afortunadamente, tenemos transformaciones o formas de reorganizar una figura. Hay varias transformaciones que nos ayudan a colocar nuestras figuras de la misma manera. Puede usar la rotación para girar una figura hasta que se coloque de la misma manera que la otra figura. Si una de tus figuras estaba al revés, puedes usar un reflejo o voltearla a través de una línea para que quede boca arriba. Si una figura está lejos de la otra, realice una traducción o deslice la figura hasta que esté más cerca. Las tres transformaciones no cambiarán el tamaño o la forma de la figura, por lo que aún tendrás todos tus ángulos y lados correspondientes si las dos figuras son similares.

Ahora que sabe cómo usar transformaciones para colocar sus figuras de la misma manera, veamos cómo puede averiguar si sus dos triángulos y sus dos rectángulos son similares.

Ejemplo 1

El par de triángulos que estás mirando son estos dos.

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Aquí no se necesitan transformaciones (ni rotaciones, reflejos ni traslaciones), ya que ambos triángulos están enfrentados de la misma manera. Puede ver fácilmente los ángulos y lados correspondientes. Los ángulos superiores son ángulos correspondientes. Los ángulos inferiores izquierdos son correspondientes y también lo son los ángulos inferiores rectos de cada triángulo. Los lados inferiores de cada triángulo se corresponden. Los lados de la regla izquierda son correspondientes. Y los bordes inclinados son correspondientes.

Para que estos dos triángulos sean similares, todos los ángulos correspondientes deben ser congruentes. Tienen que ser iguales. Todos los lados correspondientes deben ser proporcionales. Primero miras los ángulos correspondientes de tus dos triángulos. ¿Son todos iguales? Sí lo son. Tienes 90 y 90, 37 y 37, y 53 y 53. Esta parte se marca.

A continuación, miras tus lados correspondientes. ¿Son todos proporcionales en la misma cantidad? Veamos. Comenzando por el lado inferior y avanzando hacia la derecha, obtiene 6: 3, que se simplifica a 2: 1. El siguiente lado, el lado recto de la izquierda, le da una proporción de 8: 4, que se simplifica a 2: 1. Por último, el borde inclinado le da una proporción de 10: 5, que también se simplifica a 2: 1. Manteniendo su patrón de triángulo más grande a triángulo más pequeño, verá que las proporciones para cada conjunto de lados correspondientes son todas iguales. Esto significa que sus dos triángulos son similares porque tienen ángulos correspondientes congruentes y lados correspondientes proporcionales.

EJEMPLO 2

Ahora, revisemos los dos rectángulos. ¿Son similares?

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Debes comprobar dos cosas. Debes asegurarte de que todos los ángulos correspondientes sean congruentes y que todos los lados correspondientes sean proporcionales. Oh, pero mira, tus dos formas no están enfrentadas de la misma manera. Debido a que no miran de la misma manera, no se puede decir que los lados inferiores se correspondan. Debes asegurarte de que el lado inferior de cada figura sea realmente el lado inferior si ambas figuras miran de la misma manera. Debe realizar una transformación en uno de los rectángulos para que ambos miren de la misma manera. Puede rotar el rectángulo más pequeño para que quede plano como el rectángulo más grande. Y luego, puede trasladar el rectángulo más pequeño para que esté directamente debajo del rectángulo más grande. De esta manera, puede ver fácilmente cuáles son los ángulos correspondientes y los lados correspondientes. Entiendes esto.

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Ahora puede ver fácilmente qué ángulos se corresponden y qué lados se corresponden. Sabes que, dado que son dos rectángulos, todos los ángulos son de 90 grados. Dado que ambas formas son rectángulos, entonces todos los ángulos correspondientes son congruentes. Todos son de 90 grados.

Ahora, los lados. Debido a que el rectángulo tiene dos pares de líneas paralelas y congruentes, solo necesitas comparar esos dos lados diferentes. Debe comparar el tamaño del ancho y el tamaño del largo. Al observar los rectángulos, verá que la longitud del rectángulo más grande es 12 y la longitud del rectángulo más pequeño es 4. La proporción de mayor a menor es 12: 4. Simplificar esto te da 3: 1. A continuación, debe comparar los tamaños de ancho. El rectángulo más grande tiene un ancho de 6 mientras que el rectángulo más pequeño tiene un ancho de 2. La relación aquí es 6: 2, lo que se simplifica a 3: 1. ¿Son estas proporciones las mismas? Sí lo son. Entonces, esto te dice que los dos rectángulos también son similares. ¡Hurra! Tu instalación de arte es un éxito. Ambos pares de formas son similares.

Al resolver estos problemas de similitud, siempre realice la prueba de razón para todos los lados correspondientes y la prueba de congruencia para todos los ángulos correspondientes, incluso si las formas parecen idénticas. A veces, puede encontrar que dos formas de aspecto similar no son similares en absoluto.

Resumen de la lección

Repasemos lo que ha aprendido. Decimos que dos figuras son similares cuando las formas son iguales con la única diferencia en el tamaño. Para verificar si dos figuras son similares, debe verificar dos cosas. Primero, debes verificar si todos los ángulos correspondientes son congruentes. En segundo lugar, debe verificar si todos los lados correspondientes son proporcionales. La proporción debe ser la misma para todos los lados correspondientes.

Es fácil localizar los ángulos correspondientes y los lados correspondientes cuando se colocan figuras similares de la misma manera. Si dos figuras están organizadas de manera diferente, puede usar varias transformaciones o formas de reorganizar una figura. Puedes realizar una rotación o girar la figura, como hicimos con los rectángulos. Puedes hacer una reflexión o voltear la figura a través de una línea. Una traducción simplemente le permite deslizar una figura sin cambiar su orientación. Estas tres transformaciones no cambiarán el tamaño ni la forma de la figura. Aún tendrás todas las partes correspondientes y deberías poder combinarlas con menos dificultad.

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