Triángulos rectángulos especiales: tipos y propiedades

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Triángulos rectángulos especiales

Los triángulos son como las personas. Algunos son especiales en ciertos aspectos. Por ejemplo, tal vez seas un gran jugador de tenis. Puede que seas la estrella del equipo universitario de tu escuela secundaria. Eso te convertiría en un jugador de tenis especial, ciertamente mejor que la mayoría de las personas en el juego. Es como la diferencia entre un triángulo rectángulo y un triángulo oblicuo. Un triángulo rectángulo probablemente tiene un mal servicio.

Y luego están los triángulos rectángulos especiales. Estos no son tus campeones regionales de tenis. Estos son tus campeones de Wimbledon. En esta lección, nos centraremos en dos equivalentes de triángulos rectángulos de la realeza del tenis.

30-60-90

El primer triángulo rectángulo especial es el triángulo 30-60-90 . Sé que suena como un plan de teléfono celular, pero 30-60-90 se refiere a los ángulos del triángulo.

Sabes que el lado opuesto al ángulo recto es la hipotenusa. Al lado opuesto al ángulo de 30 grados lo llamamos pierna corta. ¿El opuesto al ángulo de 60 grados? Esa es la pierna larga. No es muy especial, pero es bastante fácil de recordar.

Entonces, ¿qué tiene de especial? La relación de las longitudes de los lados. Si la hipotenusa es 2, el cateto corto es 1 y el cateto largo es la raíz cuadrada de 3.

Entonces, ¿cómo recuerdas cuál es cuál? Piense en la longitud lógica relativa de los lados. El cateto corto es el lado más corto, así que ese es tu 1. Y el cateto largo está opuesto al ángulo de 60 grados, lo que lo convierte en el del medio, así que esa es tu raíz cuadrada de 3. Finalmente, la hipotenusa es la más larga, y es opuesto al ángulo más grande, así que ese es tu 2.

Hay otra forma de recordar esto. Este triángulo es tan bonito, imaginemos que se mira en el espejo:


Triángulo reflejado 30-60-90
Triángulo de 30-60-90 grados reflejado

Entonces, ahora tenemos estos dos ángulos de 60 grados en la parte inferior, y el ángulo de 30 grados se une a su ángulo reflejado de 30 grados para convertirse en otro ángulo de 60 grados. ¿Que es esto?


Triángulo equilátero
triángulo equilátero

Es un triángulo equilátero, con tres ángulos iguales y tres lados iguales.

Entonces, en este triángulo, si un lado es 2, entonces todos los lados son 2. Entonces, ¿cuál sería nuestro cateto corto? Es la mitad del lado inferior, por lo que sería 1.

Por supuesto, también podría utilizar su magia de trigonometría. O, si conoce dos lados, el Teorema de Pitágoras. Entonces, son cuatro formas de recordar la regla 1: 2: raíz cuadrada 3.

Práctica

Veamos el triángulo 30-60-90 en acción. De acuerdo, en realidad no va a jugar al tenis ni nada, pero recordar la proporción puede hacer que estos problemas sean muy sencillos.

Aquí hay un triángulo 30-60-90 donde el cateto corto es 5:


La hipotenusa de este triángulo es 10
ejemplo 30-60-90 triángulo

¿Qué es la hipotenusa? Sabemos que si el cateto corto es 1, la hipotenusa es 2. Entonces, lo que sea que tengamos para el cateto corto, la hipotenusa es solo 2 veces esa. Eso significa que aquí, serán 10. Problema resuelto.

¿Qué pasa con la pierna larga? Eso será 5 veces la raíz cuadrada de 3. A veces, veremos 5 raíz 3 como una opción de respuesta. Si es así, ¡genial! Si no es así, solo tenemos que hacer los cálculos. La raíz cuadrada de 3 es aproximadamente 1,73. Y 5 por 1,73 es aproximadamente 9.

Bien, aquí hay uno más difícil:


La hipotenusa es aproximadamente 13
ejemplo 30-60-90 triángulo

En este triángulo, el cateto largo es 11. ¿Cuáles son los otros dos lados? Comencemos con el lado corto, que es x . Podemos simplemente establecer una ecuación usando nuestra razón. Sabemos que es 1 / (raíz 3), y eso es igual a x / 11. Multiplica de forma cruzada para obtener x (raíz 3) = 11. Luego x = 11 / (raíz 3). Y eso va a ser alrededor de 6.

Ahora, la hipotenusa es y . Entonces, hacemos y / 11 = 2 / (raíz 3). Eso nos da y (raíz 3) = 11 * 2, que es 22. Entonces, y = 22 / (raíz 3). Eso será alrededor de 13.

45-45-90

Bien, esa era nuestra Serena Williams: súper talentosa, elegante, emocionante. Hay otro triángulo rectángulo especial que se parece un poco más a Roger Federer, todavía súper talentoso y emocionante, aunque quizás un poco menos elegante. Ese es nuestro triángulo 45-45-90 .

Mira lo que pasa si giras este triángulo:

45-45-90 triángulo

Me gusta esto:

45-45-90 triángulo

Ahora, ¿te das cuenta de lo que hace especial a este triángulo? ¡Es un triángulo isósceles! Y es el único tipo de triángulo rectángulo isósceles que puedes hacer. Ahora bien, ¿qué tienen de bueno los triángulos isósceles? Las dos piernas son siempre iguales. Eso hace que encontrar la hipotenusa sea fácil si solo conoce uno de los catetos; simplemente use el Teorema de Pitágoras.

Pero también puedes recordar esta práctica regla. La razón de los lados es 1: 1: raíz cuadrada 2. Entonces, cualquiera que sea uno de los catetos, la hipotenusa es solo ese número multiplicado por la raíz cuadrada de 2.

Además, ten en cuenta que si juntas dos de estos triángulos, obtienes un cuadrado. Por lo tanto, el área de uno de estos triángulos es solo 1/2 veces el cuadrado de uno de sus catetos.

Práctica

Practiquemos hallar las longitudes de los lados. Aquí hay un triángulo 45-45-90 con un cateto que es 7:


La hipotenusa es 10 para este triángulo.
45-45-90 triángulo con lado 7

¿Cuál es la longitud de la hipotenusa? Es solo 7 veces la raíz cuadrada de 2. Eso es aproximadamente 10. ¡Eso es!

¿Y este?


La longitud de la pierna es de aproximadamente 12
ejemplo 45-45-90 triángulo con lado hyp 17

Sabemos que la hipotenusa es 17. ¿Cuál es la longitud del cateto? Eso va a ser 17 / (raíz 2). Y eso va a ser alrededor de 12.

Resumen de la lección

En resumen, analizamos dos tipos especiales de triángulos rectángulos:

El primero es el triángulo 30-60-90 . En este triángulo, llamamos cateto corto al lado opuesto al ángulo de 30 grados y cateto largo al lado opuesto al ángulo de 60 grados. Si el cateto corto es 1, el cateto largo es la raíz cuadrada de 3 y la hipotenusa es 2. En 30-60-90 triángulos, los lados están siempre en esta proporción.

A continuación, miramos el triángulo 45-45-90 . Estos son triángulos isósceles. Las dos piernas tienen siempre la misma longitud. Y la hipotenusa es solo el cateto por la raíz cuadrada de 2. ¡Y eso es juego, juego, partido!

Los resultados del aprendizaje

Una vez que haya terminado con esta lección, tendrá la capacidad de:

  • Identificar la razón de los lados de un triángulo 30-60-90
  • Describe cómo resolver problemas fácilmente cuando hay un triángulo 45-45-90.