Triángulos similares: definición, fórmula y propiedades

¿Qué hace que los triángulos sean similares?

Echemos un vistazo a estos triángulos. Probablemente hay algunas cosas que se destacan de inmediato. Quizás hayas notado que están rotados en diferentes direcciones o que el triángulo de la izquierda es más grande que el de la derecha. Quizás incluso hayas notado que los dos triángulos comparten marcas similares en sus ángulos. Todas estas son características importantes cuando se trabaja con triángulos similares.

Los triángulos semejantes son dos o más triángulos que tienen todos los ángulos correspondientes que son iguales y todos los lados correspondientes que son proporcionales. No importa en qué dirección miren los triángulos. Su tamaño no importa siempre que cada lado sea proporcionado.

Vocabulario y notaciones importantes

Hay algunos términos y notaciones clave que deben discutirse antes de que podamos pasar a usar las características de triángulos similares para resolver los lados correspondientes.

• Congruente: una forma elegante de decir igual.
• Proporcional: todos los lados correspondientes tienen una proporción constante. Esto se explicará con más detalle cuando resolvemos los lados congruentes.
• Correspondiente: en el caso de triángulos similares, correspondiente se refiere a los ángulos y lados que están exactamente en el mismo lugar en ambos triángulos. Para cada ángulo o lado de un triángulo, hay un lado o ángulo correspondiente en el segundo triángulo.

Los arcos dibujados en los ángulos de ambos triángulos son importantes para ayudarnos a comprender qué ángulos se corresponden o están en la misma posición. Esto es especialmente importante cuando los triángulos se giran en diferentes direcciones. Si bien estos arcos están codificados por colores en esta imagen para que el dibujo sea más claro, los dibujos generalmente se hacen en blanco y negro, por lo que debemos observar la cantidad de arcos en cada ángulo para identificar su ángulo correspondiente.

Por ejemplo, el arco único se dibuja en amarillo. Por lo tanto, el ángulo con el arco único amarillo en cada triángulo similar es correspondiente. Esto también es válido para los ángulos con los arcos rojos dobles y los arcos verdes triples.

Ahora, casi siempre verá cada triángulo etiquetado con letras mayúsculas. Estas letras tienden a estar en orden alfabético, y cada letra nombra uno de los ángulos. Tome este triángulo, por ejemplo.

El triángulo está etiquetado con las letras mayúsculas ABC . Esto nos permite hacer conexiones fáciles entre ángulos congruentes y lados correspondientes de triángulos similares.

Resolver los lados correspondientes

Usemos estos triángulos similares como nuestro ejemplo.

Podemos ver eso:

• El ángulo A y el ángulo D son correspondientes
• El ángulo B y el ángulo E son correspondientes
• El ángulo C y el ángulo F son correspondientes

También se nos dan todas las longitudes de los lados del triángulo ABC y una de las longitudes de los lados del triángulo DEF . Esto es todo lo que necesitamos para determinar las otras dos longitudes de los lados del triángulo DEF .

Solo para refrescar nuestra memoria, proporcional significa que todos los lados correspondientes de los triángulos similares tienen una proporción constante. Esta es la clave para resolver las longitudes que faltan en el triángulo DEF . Ya determinamos nuestros ángulos correspondientes entre los dos triángulos, por lo que podemos usarlos para organizar nuestros lados correspondientes.

Mirando nuestros ángulos correspondientes, vemos que:

• El lado AB y el lado DE son correspondientes
• El lado BC y el lado EF son correspondientes
• El lado AC y el lado DF son correspondientes

Ahora, podemos usar estos lados correspondientes para establecer una proporción o fracción de razón. Como solo conocemos la longitud de un lado en el triángulo DEF (lado DE ), debemos usar esa longitud y la longitud del lado correspondiente del triángulo ABC . De la lista que hicimos antes, sabemos que el lado AB corresponde al lado DE .

Al observar nuestros triángulos, podemos ver que el lado AB tiene una longitud de 6 y el lado DE tiene una longitud de 4.

Aquí es donde entra en juego nuestra proporción. Primero resuelva nuestro lado faltante EF , que está etiquetado como x en el triángulo. Comenzamos escribiendo nuestros dos lados correspondientes conocidos como una fracción de razón:

Luego debemos establecer una fracción para nuestro lado faltante. Manteniendo la estructura de nuestra fracción de razón, necesitamos poner nuestro lado del triángulo ABC en la parte superior y nuestro lado del triángulo DEF en la parte inferior. Sabemos que el lado EF corresponde al lado BC . Por lo tanto, podemos escribir otra fracción de razón:

Ahora que tenemos nuestra fracción de razón y nuestra fracción desconocida, podemos igualarlas entre sí y usar la multiplicación cruzada para resolver nuestro lado faltante.

Comenzamos multiplicando de forma cruzada para obtener 6 por x es igual a 4 por 7. Luego multiplicamos nuestros 4 por 7 para obtener 6 x igual a 28. A partir de ahí, dividimos ambos lados por 6 para obtener x por sí mismo, ya que este es el lado que estamos tratando de encontrar. Esto nos da una solución de 4.6 repitiendo, que redondeamos a 4.67. Esto significa que la longitud faltante del lado EF es 4,67.

Debemos repetir estos pasos para encontrar nuestro lado faltante DF . Mirando hacia atrás en la lista que hicimos de los lados correspondientes, podemos ver que el lado DF , que está etiquetado como y , corresponde al lado AC , que tiene una longitud de 8.

Comenzamos multiplicando de forma cruzada para obtener 6 por y es igual a 4 por 8. Luego multiplicamos nuestro 4 por 8 para obtener 6 y es igual a 32. A partir de ahí, dividimos ambos lados por 6 para obtener y por sí mismo, ya que esta es la lado que estamos tratando de encontrar. Esto nos da una solución de 5.3 repitiendo, que redondeamos a 5.33. Esto significa que la longitud faltante del lado DF es 5,33.

Resumen de la lección

¡Lo hicimos! En esta lección no solo aprendiste la definición de triángulos similares, sino también las propiedades que hacen que estos triángulos sean similares. Sabes que los triángulos semejantes son triángulos que tienen ángulos correspondientes congruentes y lados correspondientes proporcionales. Además de eso, ¡ahora eres un experto en el uso de proporciones para resolver el lado faltante de un triángulo!