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Uso de círculos unitarios para relacionar triángulos rectángulos con seno y coseno

Publicado el 4 noviembre, 2020

Todo está conectado

¿Alguna vez tuvo la sensación de que todo está conectado? Es como ese efecto mariposa, donde la brisa iniciada por una mariposa batiendo sus alas continúa y provoca un huracán distante. La sensación de que las cosas están conectadas está en todas partes.

Tal vez puedas conectar a cualquier actor con Kevin Bacon en seis grados o menos. O tal vez solo conociste a tu mejor amigo porque ambos se vistieron como la princesa Leia del bikini de metal de Return of the Jedi para la misma convención de ciencia ficción, que fue especialmente aleatoria ya que su mejor amigo es (a) un chico y (b) realmente no lo es. No tengo el cuerpo para sacar un bikini de metal. No es que la mayoría de la gente lo haga.

Pero de todos modos, cuando estamos en el mundo de las matemáticas avanzadas, no es solo una coincidencia que las cosas parezcan conectadas. ¡Lo son totalmente! Veamos cómo.

Triángulos rectángulos y trigonometría

Triángulos rectángulos : esos triángulos con un ángulo recto. Todo el mundo ama los triángulos rectángulos, ¿verdad? ¿Qué tienen de bueno ellos? Entre otras cosas, tienen propiedades trigonométricas únicas.

Si miramos este ángulo, theta, a continuación, podemos etiquetar los lados en relación con theta. El lado opuesto a theta es … espéralo … el lado opuesto. El lado adyacente es, sí, el lado adyacente. Y luego está la hipotenusa, que es el lado más largo.


Los lados de un triángulo rectángulo se pueden etiquetar en relación con el ángulo theta.
triángulo rectángulo etiquetado

Las tres funciones trigonométricas principales son seno, coseno y tangente. El seno de theta es igual al opuesto sobre la hipotenusa. El coseno de theta es igual al adyacente sobre la hipotenusa. Finalmente, la tangente de theta es igual a la opuesta sobre la adyacente. Abreviamos esto con la frase SOH CAH TOA .

¿Pero sabías que los triángulos rectángulos están conectados a círculos? Bueno, no cualquier círculo. Me refiero al círculo unitario.

El círculo de la unidad

El círculo unitario es una de las herramientas matemáticas mágicas que te hacen la vida más fácil. Lo que es especialmente bueno sobre el círculo unitario es lo simple que es. Es solo un círculo con un radio de 1.

¿Qué utilidad tiene? Dibujémoslo. Empezar con un básico x – y y eje x. Ahora agregue un círculo con un centro en el origen. Nuevamente, el radio del círculo es 1.


Circulo unitario
circulo unitario

No hay mucha magia aquí. Pero este huracán asombroso recién está comenzando.

Si nuestra línea de radio está aquí (se ve a continuación), y trazamos otra línea hacia el eje x aquí (también se ve a continuación), ¿qué obtenemos? Un triángulo rectángulo.


Triángulo rectángulo en un círculo unitario
círculo unitario con triángulo rectángulo

Llamaremos al ángulo sobre theta. Y la hipotenusa del triángulo es 1. Ahora volvamos a nuestro trigonometraje.

Seno y coseno

¿Cuál es el seno de theta nuevamente? Recuerde SOH CAH TOA . El seno es lo opuesto a la hipotenusa. Entonces, el seno de theta es el lado sobre la hipotenusa. Pero espera, si la hipotenusa es 1, entonces el seno de theta es cualquiera que sea esta longitud. Entonces, podemos llamar a esta pierna debajo del seno.

círculo unitario que muestra la pierna sinusoidal

¿Y el coseno? El coseno es el lado adyacente sobre la hipotenusa. Entonces, es este lado sobre 1, o solo este lado:

círculo unitario que muestra la pierna cos

Eso significa que el punto en el punto amarillo donde el radio golpea el borde del círculo se puede identificar como (cos (theta), sin (theta)). Entonces, nuestra mariposa triángulo rectángulo batió sus alas, formando seno y coseno. Y ese viento viajó hasta nuestro círculo unitario, donde reaparecen el mismo seno y coseno. Nuestro huracán de lo asombroso realmente está comenzando ahora.

circulo unitario

Triángulos circulares unitarios

Veamos el giro de este huracán (vea el video a partir de las 03:32). No importa dónde muevamos nuestra línea de radio, aún llega al borde de nuestro círculo unitario en (cos (theta), sin (theta)). A medida que se mueve, los valores del coseno theta y del seno theta simplemente cambian a medida que cambia theta.

Aquí, theta es 0:

círculo unitario que muestra theta cero

Esto realmente no es un triángulo, pero el principio no ha cambiado. El coseno theta sigue siendo la distancia desde el origen al punto amarillo, por lo que el coseno theta es 1. ¿Qué pasa con el seno theta? Dado que esto es como un triángulo donde el lado opuesto theta es 0, entonces el seno theta es 0.

¿Qué pasa si movemos theta a 90 grados? Ahora el coseno theta es 0 y el seno theta es 1.

A medida que avanzamos hacia el cuadrante II, el coseno theta se vuelve negativo. ¿Por qué? Nuestros valores de x son negativos. El seno theta permanece positivo hasta que llegamos a los cuadrantes III y IV. Pero en el cuadrante IV, el coseno vuelve a ser positivo. Todo está basado en nuestra X e Y. valores.

Entonces, el viento del triángulo rectángulo es perpetuamente parte de nuestro huracán de círculo unitario. Puede soplar hacia el norte, este, sur u oeste, pero todo está conectado.

Resumen de la lección

En resumen, logramos conectar las mariposas y los huracanes con la princesa Leia y la trigonometría. Más importante aún, miramos las conexiones entre los triángulos rectángulos, el círculo unitario y el seno y el coseno.

Los triángulos rectángulos son triángulos con un ángulo recto. En un triángulo rectángulo, el seno de un ángulo es igual al lado opuesto sobre la hipotenusa. El coseno es igual al lado adyacente sobre la hipotenusa.

En el círculo unitario, podemos crear un triángulo rectángulo agregando una línea de radio y conectándola al eje x . Dado que el radio de un círculo unitario es uno, la hipotenusa de estos triángulos también es uno. Eso significa que el seno del ángulo formado por el radio y el eje x es cualquiera que sea esta longitud aquí:

flecha blanca que muestra el seno

Y el coseno es cualquiera que sea esta longitud aquí:

flecha blanca apuntando al coseno

Los resultados del aprendizaje

Después de esta lección, debería poder:

  • Explica la utilidad de un círculo unitario.
  • Describe cómo crear un triángulo rectángulo en un círculo unitario.
  • Identificar seno, coseno y tangente usando un círculo unitario y un triángulo rectángulo

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