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Uso de declaraciones inversas para demostrar que las líneas son paralelas

Publicado el 22 septiembre, 2020

Lineas paralelas

Para empezar, sabemos que un par de rectas paralelas es un par que nunca se cruza y siempre están a la misma distancia. Piense en las pistas de una montaña rusa. ¿Ves cómo nunca se cruzan y siempre están a la misma distancia? De esto se tratan las líneas paralelas.

Declaraciones inversas

Junto con las líneas paralelas, también estamos tratando con declaraciones inversas. No se preocupe, no es nada complicado. Si tuviéramos un enunciado como ‘Si un cuadrado es un rectángulo, entonces un círculo es un óvalo’, entonces su recíproco sería el mismo enunciado pero en orden inverso, así: ‘Si un círculo es un óvalo, entonces un cuadrado es un rectángulo ‘. Comenzamos con ‘Si esto, entonces aquello’ y terminamos con ‘Si eso, entonces esto’. Así que piense en lo contrario como cambiar el orden de la declaración.

Ahora, con líneas paralelas, tenemos nuestras declaraciones originales que nos dicen cuándo las líneas son paralelas.

Declaraciones de líneas paralelas

Tenemos cuatro declaraciones originales que podemos hacer. Pero para que los enunciados funcionen, para que podamos probar que las líneas son paralelas, necesitamos una transversal , o una línea que atraviese dos líneas. Esta línea crea ocho ángulos diferentes que podemos comparar entre sí. Entonces, si todavía está imaginando las vías en una montaña rusa, ahora agregue una línea recta que atraviese las vías. Verás que forma ocho ángulos diferentes. Esta es tu transversal. Necesita esto para probar líneas paralelas porque necesita los ángulos que forma porque son las propiedades de los ángulos las que forman o rompen un par de líneas paralelas.


Línea transversal a través de líneas paralelas
Líneas transversales paralelas

¿Cuáles son las propiedades que deben tener los ángulos si las líneas son paralelas?

1. Si las líneas son paralelas, entonces los ángulos correspondientes son congruentes. Estos son los ángulos que están en la misma esquina en cada intersección. Verás que la transversal produce dos intersecciones, una para cada recta. Entonces, un par de ángulos correspondientes estarán ambos en la misma esquina en sus respectivas intersecciones. Entonces, si un ángulo estaba en la esquina superior izquierda en una intersección, el ángulo correspondiente en la otra intersección también estará en la esquina superior izquierda. Para líneas paralelas, estos ángulos deben ser iguales entre sí.

2. Si las líneas son paralelas, entonces los ángulos alternos internos son congruentes. La palabra ‘alternativo’ significa que tendrá un ángulo en un lado de la transversal y el otro ángulo en el otro lado de la transversal. ‘Interior’ significa que ambos ángulos están entre las dos líneas paralelas. Estos ángulos deben ser iguales entre sí para líneas paralelas.

3. Si las líneas son paralelas, entonces los ángulos alternos externos son congruentes. Esto es similar al que acabamos de repasar, excepto que ahora los ángulos están fuera del par de líneas paralelas. Entonces, estos ángulos deben ser igualmente iguales a cada uno para las líneas paralelas.

4. Por último, pero no menos importante, si las líneas son paralelas, entonces los ángulos interiores en el mismo lado de la transversal son suplementarios. Aquí, los ángulos son los que hay entre las dos líneas que son paralelas, pero ambos ángulos no están en el mismo lado de la transversal. Estos deben sumar 180 grados.

Usar declaraciones inversas

Ahora veamos cómo se verán nuestros enunciados inversos y cómo podemos usarlos con los ángulos que forman nuestra transversal. Todo lo que necesito es que uno de estos se satisfaga para tener una prueba exitosa.

1. Si los ángulos correspondientes son congruentes, entonces las líneas son paralelas. Para usar esta afirmación para probar líneas paralelas, todo lo que necesitamos es encontrar un par de ángulos correspondientes que sean congruentes. Eso es todo lo que necesitamos. Así que miramos ambas intersecciones y buscamos ángulos coincidentes en cada esquina. Por ejemplo, si encontramos que la esquina superior derecha en cada intersección es igual, entonces podemos decir que las líneas son paralelas usando esta declaración.

2. Si los ángulos alternos internos son congruentes, entonces las líneas son paralelas. Todo lo que necesitamos aquí es también un par de ángulos alternos internos para mostrar que nuestras líneas son paralelas. Entonces, por ejemplo, si encontramos que el ángulo ubicado en la esquina inferior izquierda en la intersección superior es igual al ángulo en la esquina superior derecha en la intersección inferior, entonces podemos probar que las líneas son paralelas usando esta declaración .

3. Si los ángulos alternos externos son congruentes, entonces las líneas son paralelas. Sí, aquí también solo necesitamos encontrar un par de ángulos que sea congruente. Entonces, si mi ángulo en la esquina superior derecha de la intersección superior es igual al ángulo en la esquina inferior izquierda de la intersección inferior, entonces por medio de esta afirmación puedo decir que las líneas son paralelas.

4. Si los ángulos interiores del mismo lado de la transversal son suplementarios, entonces las líneas son paralelas. Entonces, si los ángulos interiores a cada lado de la transversal suman 180 grados, entonces puedo usar esta afirmación para probar que las líneas son paralelas. Por ejemplo, si agregué el ángulo en la parte inferior izquierda de la intersección superior al ángulo en la parte superior izquierda de la intersección inferior y obtuve 180 grados, entonces puedo usar esta declaración para probar que mis líneas son paralelas.

Para demostrar que cualquier par de líneas es paralelo, todo lo que necesita es satisfacer una de las anteriores.

Resumen de la lección

¿Qué hemos aprendido? Sabemos que para probar un par de rectas paralelas , las rectas que nunca se cruzan y siempre están a la misma distancia, son de hecho paralelas, necesitamos una transversal , que es una recta que corta otras dos rectas. Esta transversal crea ocho ángulos que podemos comparar entre sí para demostrar que nuestras líneas son paralelas. Cuando las líneas son realmente paralelas, los ángulos tienen cuatro propiedades diferentes.

Podemos usar el inverso de estos enunciados para probar que las líneas son paralelas diciendo que si los ángulos muestran una propiedad particular, entonces las líneas son paralelas. Estas propiedades son:

  1. Los ángulos correspondientes, los ángulos ubicados en la misma esquina en cada intersección, son congruentes,
  2. Los ángulos alternos internos, los ángulos dentro del par de líneas pero a cada lado de la transversal, son congruentes,
  3. Los ángulos alternos externos, los ángulos fuera del par de líneas pero a cada lado de la transversal, son congruentes, y
  4. Los ángulos interiores del mismo lado de la transversal son suplementarios.

Si se cumple alguna de estas propiedades, podemos decir que las líneas son paralelas.

Los resultados del aprendizaje

El proceso de estudiar esta lección en video podría permitirle:

  • Ilustra líneas paralelas
  • Recuerda lo que son las declaraciones inversas
  • Demuestre rectas paralelas usando enunciados inversos creando una recta transversal

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