Uso de la distribución normal para aproximar las probabilidades binomiales

Calcular probabilidades

Muchos problemas importantes del mundo real involucran el cálculo de probabilidades. Los ejemplos familiares pueden incluir estimar sus posibilidades en un sorteo de premios o juegos de casino. Piense en apostar al lanzamiento de una moneda. Dado que las monedas tienen dos caras, solo hay dos resultados posibles para cada lanzamiento, donde uno de ellos se puede definir como éxito y el otro como fracaso. Es decir, puede ganar o perder la apuesta.

Bueno, en esta lección aprenderá acerca de las probabilidades binomiales , que involucran procesos en los que todos los resultados se caracterizan por dos estados posibles: éxito o fracaso. Es decir, nos centraremos en cómo las probabilidades binomiales pueden aproximarse mediante una distribución normal. Una distribución normal es una distribución de frecuencia que se puede representar mediante una curva normal o en forma de campana.

Definición de probabilidades binomiales

La distribución de probabilidad binomial , a menudo denominada distribución binomial , es una construcción matemática que se utiliza para modelar la probabilidad de observar r éxitos en n ensayos. Para este cálculo se utiliza la fórmula que se muestra en la pantalla (ver video), donde p es la probabilidad de éxito para un solo evento y q es la probabilidad de falla para un solo evento.

En esta fórmula, la expresión P (X = r) especifica la probabilidad de un resultado único r fuera del conjunto de todos los posibles resultados representados por X . En el caso de un lanzamiento de moneda, los posibles resultados son cara y cruz, en cuyo caso r podría definirse como cara o cruz. También tenga en cuenta que q es simplemente el complemento de p , tal que q = 1 – p . El término (nr) entre paréntesis se evalúa como la expresión que se muestra aquí.

Trabajemos juntos en un ejemplo, ya que todo esto es un poco confuso.

Suponga que queremos encontrar la probabilidad de acertar 7 preguntas en una prueba de opción múltiple de 10 preguntas, donde cada pregunta tiene cinco opciones de respuesta. Suponga además que las respuestas se eligen completamente al azar, y que el examinado ni siquiera ve las preguntas. La solución es como se muestra en la pantalla (ver video).

En este cálculo, la probabilidad de éxito ( p ) es 0.2 porque hay 5 opciones de respuesta para cada pregunta y asumimos que las respuestas son completamente aleatorias. La probabilidad de falla es simplemente 1 – p = 1 – 0.2 = 0.8. El resultado resulta ser una probabilidad muy pequeña, lo que debería esperar porque es muy poco probable que respondan correctamente 7 de 10 preguntas mediante adivinanzas al azar.

Francamente, es posible que incluso se haya dado cuenta de esto la única vez que se olvidó por completo de estudiar para un cuestionario y trató de adivinar su camino. ¿Quién necesita matemáticas para esto? Estoy bromeando, por supuesto.

De todos modos, procedamos a explicar cómo las probabilidades binomiales pueden aproximarse mediante una distribución normal.

Aproximación de la distribución binomial

Con ese fin, volvamos al proceso de lanzar una moneda. Suponga que queremos encontrar las probabilidades asociadas con el número de veces que la moneda cae en cara después de dos lanzamientos. Los posibles resultados se muestran en la pantalla (ver video).

Hay un resultado posible en el que la moneda puede caer en cara dos veces (HH), con una probabilidad correspondiente de 1/4; dos posibles resultados en los que la moneda puede caer en cara una vez (HT y TH), dando una probabilidad total de 2/4; y un posible resultado de que la moneda no caiga cara (TT), con una probabilidad de 1/4. En la pantalla se muestra una gráfica de esta distribución de probabilidad binomial: (ver video).

Si tuviéramos que lanzar la moneda cuatro veces, las probabilidades correspondientes serían las que se muestran en la tabla de datos aquí (ver video). La trama se vería como se muestra en la pantalla (ver video).

Si continuamos volteando más y más veces, la distribución binomial discreta se acercaría cada vez más a la distribución normal continua. Después de 64 giros, la trama se vería de la siguiente manera (ver video). Si hacemos 128 volteos, la distribución de probabilidad casi parece una distribución normal, como se muestra en la pantalla (ver video). Si trazamos la distribución normal en rojo sobre la distribución de probabilidad binomial de 128 vueltas, el gráfico se vería como se muestra aquí (ver video).

Relacionar distribuciones binomiales y normales

Hasta ahora hemos visto cómo las probabilidades binomiales pueden aproximarse visualmente mediante la distribución normal. ¿Hay alguna forma de relacionarlos matemáticamente? Afortunadamente, hay una manera fácil de hacerlo, pero con una advertencia. La advertencia es que para una aproximación ‘suficientemente buena’, tanto n veces p como n veces q tienen que ser mayores o iguales a 5, como se muestra en la pantalla (ver video). Esta advertencia intenta garantizar que el tamaño de la muestra sea lo suficientemente grande. Suponiendo que se cumple esta condición, podemos calcular la media y la desviación estándar como se muestra aquí (ver video).

Por tanto, conocer el tamaño de la muestra y la probabilidad de éxito nos permite calcular la media y la desviación estándar de la distribución normal correspondiente.

Resumen de la lección

Para recapitular, en esta lección aprendió sobre las probabilidades binomiales y cómo aproximarlas usando la distribución normal.

Una distribución normal es una distribución de frecuencia que se puede representar mediante una curva normal o en forma de campana.

Una probabilidad binomial implica designar todos los resultados posibles de un evento o proceso como uno de dos estados posibles: éxito o fracaso. Por ejemplo, al lanzar una moneda, si elegimos el resultado de cara para representar el éxito, entonces el resultado de cruz representaría un fracaso. Otro ejemplo es lanzar un dado de 6 caras, en el que podríamos elegir cualquier resultado menor que 4 para representar el éxito y cualquier otro resultado para representar el fracaso.

La distribución de probabilidad binomial , también conocida como distribución binomial , es una construcción matemática que se utiliza para modelar la probabilidad de observar r éxitos en n ensayos. Posteriormente, hemos visto que a medida que aumenta el número de lanzamientos de monedas, la distribución binomial se acerca cada vez más a una distribución normal. En el caso general, si el tamaño de la muestra es lo suficientemente grande, y los productos de ambas n veces p y n veces q son mayores que o igual a 5, entonces la distribución binomial puede ser bien aproximada por la distribución normal.

En este caso, la media de la muestra se puede calcular como el producto n veces p , mientras que la desviación estándar puede ser calculado como la raíz cuadrada del producto de la npq . Ahora debería estar familiarizado con estos temas y ser capaz de resolver problemas relacionados.