Variables independientes y dependientes en matemáticas

Independencia y dependencia

Probablemente esté familiarizado con lo que significa ser independiente o dependiente de algo. Los ingresos de una persona dependen de su trabajo porque sin ese trabajo no se les pagaría. La velocidad de un automóvil es independiente de la cantidad de líquido de limpiaparabrisas que tenga porque eso no tiene ningún efecto sobre la velocidad. En general, si eres independiente de algo, significa que no puede afectarte de ninguna manera, y si eres dependiente de algo, los cambios en lo que sea de lo que dependes te afectarán.

Estos conceptos de independencia y dependencia también tienen significado en matemáticas, específicamente con variables. En esta lección, aprenderemos qué son las variables independientes y dependientes y cómo identificarlas.

Descifrando tipos de variables

En una ecuación matemática, las variables son los símbolos o letras que representan números cuyos valores pueden cambiar. Las variables pueden ser dependientes o independientes de otras variables. Las variables dependientes se basan en otras variables para encontrar su valor y las variables independientes no se basan en otras variables para encontrar su valor.

Entonces, para resumir, una variable independiente cambiará el valor de una variable dependiente, pero una variable dependiente no puede cambiar el valor de una variable independiente, y el valor de la variable dependiente está determinado por el valor de la variable independiente.

Podemos ver mejor cómo los dos tipos de variables difieren en los problemas de palabras, así que veamos uno.

Ejemplo

Sarah gana $ 10 la hora y trabaja entre 6 y 8 horas al día. ¿Cuánto dinero gana en un solo día?

Comencemos por desglosar los componentes de nuestro problema verbal. Tenemos una constante , un valor que no cambia y dos variables. La constante es su salario, $ 10 por hora, y las variables son cuánto dinero gana en un día ( m ) y cuántas horas trabaja ( h ).

Entonces, ¿ahora qué variable es dependiente y cuál es independiente? Como sabemos lo que representan físicamente las variables, podemos resolver esto determinando qué variable depende de la otra para encontrar su valor. Esta será nuestra variable dependiente.

• ¿Sarah necesita saber cuántas horas trabaja para saber cuánto dinero gana en un día?

– o –

• ¿Necesita Sarah saber cuánto dinero gana en un día para saber cuántas horas trabaja?

En este problema, es la primera opción. Dado que el salario de Sarah es por horas, cuántas horas trabaja determina cuánto dinero gana.

Entonces m, el dinero ganado en un día, es nuestra variable dependiente, y h, las horas trabajadas, es nuestra variable independiente.

Para ver cómo la variable independiente cambia el valor de la variable dependiente, podemos establecer una ecuación para este problema verbal y resolverlo. Aquí, la cantidad de dinero que gana Sarah es igual a su salario multiplicado por las horas que trabaja.

m = $ 10 * h

Sarah puede trabajar durante 6, 7 u 8 horas al día. Podemos ver cómo este valor cambiante de la variable independiente afecta el valor de la variable dependiente.

m = $ 10 * 6 = $ 60

m = $ 10 * 7 = $ 70

m = $ 10 * 8 = $ 80

Cuando sepa lo que representa cada variable en el mundo real, puede usar la lógica para averiguar si cada variable es independiente o dependiente. No existe una fórmula única que se adapte a todos y que le diga automáticamente qué tipo de variable es cada una; debes resolverlo tú mismo.

Ecuaciones sin contexto

Entonces, hemos visto que puedes descubrir qué variables son independientes y dependientes cuando sabes lo que representan, pero ¿y si no lo sabes? A menudo, en una clase de matemáticas no te dan nada más que una ecuación como la siguiente:

y = x + 1

un = 3 b 2 + 4 c

Cuando se le da una ecuación con una sola variable independiente en un lado del signo igual y una combinación de constantes y variables en otros, la variable independiente suele ser la variable dependiente. Las variables del otro lado del signo igual son entonces independientes.

Al igual que antes, un cambio en la variable independiente afectará el valor de la variable dependiente. Puede ver esto insertando un par de valores diferentes para la variable independiente x en el primer ejemplo de ecuación de esta sección:

y = 2 + 1 = 3

y = 200 + 1 = 201

Desafortunadamente, no podemos garantizar absolutamente que la variable independiente siempre será la variable dependiente. Esto no solo puede ser falso, sino que a veces ni siquiera se le da una ecuación con una variable independiente en un lado del signo igual.

y + 2 x = 1

a + 4 b = 3 a + b

Para estar absolutamente seguro de qué variable es la variable dependiente en una ecuación en la que no sabe qué representan físicamente las variables, necesita saber qué variable es una función de las demás.

Cuando dices que una variable es función de otra, es decir, ‘ x es una función de y ‘, lo que realmente estás diciendo es que x depende de y . Saber esto le permitiría reorganizar la ecuación de modo que la variable dependiente esté por sí sola en un lado del signo igual.

y + 2 x = 1

2 x = 1 – y

x = (1 – y ) / 2

Podemos representar visualmente qué variable es función de la otra con notación de función . En la notación de funciones, reemplaza la variable dependiente con una sola letra o símbolo que representa el nombre de la función con las variables independientes entre paréntesis al lado.

f (y) = (1 – y ) / 2

g (a, b) = 5 a + b

Cuando la ecuación que se le da usa la notación de función, queda inmediatamente claro qué variable es la variable dependiente y cuáles son variables independientes.

Resumen de la lección

Al hacer ecuaciones matemáticas, a menudo se encuentra trabajando con variables. Las variables son los símbolos o letras de las ecuaciones matemáticas cuyos valores pueden cambiar. Hay dos tipos de variables; variables independientes , que no dependen de otras variables para encontrar sus valores, y variables dependientes , que deben depender de otras variables independientes para encontrar sus valores.

Para averiguar qué variables son independientes o dependientes en una ecuación matemática, necesitamos saber información sobre lo que representan físicamente las variables, o necesitamos que nos digan qué variable es una función de las demás. Si nos dan información sobre lo que representan, podemos usar la lógica para determinar qué variables dependen de los valores de otras y cuáles no.

Si nos dicen qué variable es función de las otras, sabemos que la variable es la variable dependiente y las otras son las variables independientes. Podemos representar esto con la notación de funciones . Esta notación nos permite saber visualmente de inmediato qué variables de una ecuación son dependientes e independientes.