Relaciones Inversas: Definición, gráficas y ejemplos

Relación inversa

Las investigaciones científicas y el análisis cuantitativo examinan las relaciones entre variables. Después de recopilar datos mediante experimentación u observación, los investigadores los analizan para identificar posibles relaciones causales. Una relación inversa es una posible relación entre variables. ¿Qué es una relación inversa y qué propiedades exhibe? Cuando dos variables tienen una relación inversa, cambiar una variable cambiará la otra variable en la dirección opuesta. Una relación inversa también se conoce como relación negativa. En este tipo de relación, una variable aumenta mientras que la otra disminuye, o viceversa.

Gráfico de relación inversa

Graficar los puntos de datos de dos variables como un diagrama de dispersión ayuda a determinar qué tipo de relación, si existe alguna, existe entre las dos variables. La variable independiente se representa en el eje x y la variable dependiente se representa en el eje y. La característica identificativa de un gráfico de relación inversa es que tiene pendiente negativa. La línea o curva del gráfico tiende hacia abajo de izquierda a derecha.

Ejemplos de relaciones inversas

Las relaciones proporcionales se pueden representar mediante la ecuación {eq}Y=kX {/eq} donde {eq}Y {/eq} y {eq}X {/eq} son las variables y {eq}k {/eq} es la constante de proporcionalidad. En el caso de una relación inversa, la constante {eq}k {/eq} es un número negativo. En la vida real existen muchas relaciones inversas. Por ejemplo, en física, la ley de Boyle describe la relación entre el volumen y la presión de un gas. Según esta ley, la presión y el volumen están inversamente relacionados. El volumen del gas disminuye al aumentar la presión y al disminuir la presión el volumen aumenta proporcionalmente. La ecuación de la ley de Boyle es {eq}PV=k {/eq}.

Otro ejemplo de relación inversa ocurre en economía. El precio y la cantidad demandada están relacionados mediante la ecuación {eq}Qd=ab(P) {/eq}. En esta fórmula, {eq}Qd {/eq} es la cantidad demandada, {eq}a {/eq} es la cantidad cuando el precio es igual a cero (la intersección y del gráfico) y {eq}P { /eq} es el precio. La variable b entonces representa la pendiente de la gráfica. Como indica la ecuación, esta pendiente es negativa lo que significa una relación inversa entre el precio y la cantidad demandada.

Contrario de relación inversa

Lo opuesto a una relación inversa se conoce como relación directa, o relación directamente proporcional. En este tipo de relación, un cambio en una variable da como resultado un cambio similar en la segunda variable. Dicho de otra manera, dos variables que tienen una relación directa cambiarán en la misma dirección. Existen muchos ejemplos de relaciones directas en la naturaleza y la vida diaria. Éstos son sólo algunos:

1. Radio y área de un círculo. A medida que aumenta el radio de un círculo, también aumenta el área.
2. Horas trabajadas y salario ganado. Cuantas más horas trabaja uno, más paga recibe.
3. Segunda ley del movimiento de Newton. {eq}F=ma {/eq}, donde {eq}F {/eq} es la fuerza, {eq}m {/eq} es la masa y {eq}a {/eq} es la aceleración. Para un objeto de

masa constante, la fuerza varía directamente con la aceleración.

Graficar la fuerza sobre la aceleración para una masa constante muestra que la relación es directamente proporcional.

Relación cuadrática

Una relación cuadrática entre dos variables asume la forma {eq}y=ax^2+bx+c {/eq} donde {eq}y {/eq} y {eq}x {/eq} son las variables, {eq }a {/eq}, {eq}b {/eq} y {eq}c {/eq} son constantes. La constante {eq}a {/eq} no puede ser igual a cero. La gráfica de una relación cuadrática entre dos variables crea una parábola, un tipo de curva. Un ejemplo de relación cuadrática en la naturaleza es el movimiento de proyectiles. Descrito por la ecuación del proyectil {eq}h=at^2+bt+c {/eq} donde la variable {eq}h {/eq} es la altura y {eq}t {/eq} es el tiempo.

El movimiento del proyectil es una relación directa. Sin embargo, una relación cuadrática también puede ser inversa. Cuando se grafica una relación inversa cuadrática, se forma una hipérbola.

El coeficiente de correlación

Al estudiar las relaciones entre variables, es importante saber qué tan estrechamente relacionadas están. En otras palabras, ¿con qué fuerza afecta la variable independiente a la variable dependiente? Otra forma de describir esto es la fuerza de la correlación entre las variables. En estadística, la definición de coeficiente de correlación es el grado en que se relaciona el cambio en un conjunto de variables. Este valor puede

oscilan entre {eq}-1 {/eq} y {eq}1 {/eq}. No es sorprendente que, para relaciones inversas, el coeficiente de correlación sea negativo. Por el contrario, para relaciones directas, el coeficiente de correlación es positivo. Un coeficiente de correlación de {eq}-1 {/eq} indica una correlación negativa perfecta y un valor de {eq}1 {/eq} indica una correlación perfectamente positiva. La fórmula para calcular el coeficiente de correlación,{eq}r {/eq} entre dos variables es la siguiente.

En esta ecuación, {eq}n {/eq} es el número de puntos de datos. La letra griega {eq}\Sigma {/eq}simboliza suma.

Calcule {eq}r {/eq} para el conjunto de datos {eq}(4,2)(6,3)(5,2) {/eq}

$$n=3 $$

$$\Sigma xy = 8+18+10=36 $$

$$\Sigma x = 15 $$

$$\Sigma y = 7 $$

$$\Sigma x^2 = 16+36+25=67 $$

$$(\Sigma x)^2 = 15^2 = 225) $$

$$\Sigma y^2 = 4+9+4=17 $$

$$(\Sigma y)^2 = 7^2 = 49 $$

$$r=\frac{3(36)-15(7)}{\sqrt{[(3(77)-225)(3(17)-49]}} $$

$$r=\frac{108-105}{\sqrt{[(231-225)(51-49)]}} $$

$$r=\frac{3}{\sqrt{(6)(2)}}=\frac{3}{\sqrt{12}}=\frac3{3.46}=0.87 $$

El valor de correlación del coeficiente de {eq}0,87 {/eq} representa una correlación directa significativa porque este valor está relativamente cerca de {eq}1 {/eq}.

Resumen de la lección

Una relación inversa es un tipo de relación entre variables. En una relación inversa, las variables cambian en direcciones opuestas. Si una variable aumenta, la otra disminuye y viceversa. Un gráfico de relación inversa muestra una tendencia a la baja o una pendiente negativa. Las relaciones proporcionales entre variables se pueden representar matemáticamente con la ecuación {eq}y=kx {/eq}, donde {eq}k {/eq} es la constante de proporcionalidad. Para relaciones inversas, la constante de proporcionalidad tiene un valor negativo. Los ejemplos de relaciones inversas incluyen la ley de Boyle (que relaciona el volumen y la presión de un gas) y la relación económica de demanda y precio.

Lo opuesto a una relación inversa es una relación directa. Se pueden encontrar ejemplos de relaciones directas en la naturaleza, como la relación entre el radio y el área de un círculo, y en la vida cotidiana, como la relación entre las horas de trabajo y el salario ganado. Ambos ejemplos son lineales. El movimiento de un proyectil es un ejemplo de una relación cuadrática directa que representa una parábola. Para saber qué tan estrechamente están relacionadas dos variables, se puede encontrar una cantidad llamada coeficiente de correlación. Cuanto más cercano esté este valor a 1, más fuerte será la correlación para una relación directa. Para relaciones inversas, la correlación entre variables se fortalece a medida que este valor se acerca a -1.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador