Resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales por eliminación

Yaks, krills y ecuaciones diferenciales

Una ecuación diferencial es una ecuación con derivadas. Una ecuación diferencial es lineal si no hay productos de variables dependientes y si todas las derivadas y variables dependientes se elevan a la primera potencia. Cuando hay dos o más ecuaciones, tenemos un sistema . Este sistema se acopla cuando diferentes variables dependientes están presentes en la misma ecuación.

Ahora, con los términos básicos fuera del camino, ¡empecemos a resolver! Supongamos que tenemos dos variables dependientes, x y y , que representa la población de krills y yaks. Imagine la tasa de cambio de los yaks, d x / d t , dependiendo negativamente del número de krills. De manera similar, en este mundo hipotético, la tasa de cambio de krills, d y / d t , depende negativamente del número de yaks. Así, nuestro hipotético sistema acoplado de ecuaciones diferenciales lineales es:

Dos incógnitas y dos ecuaciones, sugiere el método de eliminación del álgebra. Como veremos, escribir d x / d t como D x parece que D está multiplicando x . La D, sin embargo, es un operador en x donde la operación es diferenciación. En realidad, la multiplicación par, como 4 por x en 4 x , es un 4 que opera sobre la x .

¡Vamos al sistema krill-yak!

Paso 1: usa la notación D para la derivada.

Reemplaza d x / d t con D x y d y / d t con D y .

Paso 2: Organiza las ecuaciones.

Poniendo x primero, obtenemos:

Paso 3: Resuelve por eliminación.

Multiplicando la ecuación (2) con D, obtenemos:

Multiplicando la ecuación (1) por 4, tenemos:

Ahora eliminamos 4D x de la ecuación:

Restando una ecuación de la otra, hemos eliminado 4D x .

Paso 4: Resuelve la ecuación diferencial.

¿Cómo resolvemos esta ecuación?

1. Primero, sea y = e a t .
2. Usando el operador de diferenciación D en y , tenemos y = a e a t
3. Esto nos da D 2 y = a 2 e en .

Sustituyendo en -36 y + D 2 y = 0:

-36e en + a 2 e en = 0.

Dividiendo por e en :

-36 + a 2 = 0.

Resolviendo para un :

a = ± 6.

Así:

• y = c 1 e 6 t + c 2 e -6 t .

Paso 5: Usando la eliminación, resuelva para las otras variables.

Este es una repetición de la Etapa 3, pero y se elimina.

Multiplica la ecuación (1) con D:

Multiplica la ecuación (2) por 9:

Al eliminar 9D y se obtiene -36 x + D 2 x = 0.

La forma de esta ecuación en x es la misma que teníamos para y . Por lo tanto, las soluciones para x y y son los mismos a excepción de los subíndices en las constantes:

• x = c 3 e 6 t + c 4 e -6 t .

Paso 6: Usando condiciones iniciales, resuelva las constantes.

Las condiciones iniciales son la variable y sus primeros valores derivados en el tiempo t = 0.

Imagínese al principio, y = 0 y d y / d t = 12.

Sustituyendo t = 0 en

obtenemos

Dado que, e 0 = 1,

y = do 1 (1) + do 2 (1).

En el tiempo t = 0, y = 0. Por lo tanto,

c 1 + c 2 = 0.

Ahora, para la condición inicial en d y / d t .

En t = 0, esto se convierte en:

En el tiempo t = 0, d y / d t = 12;

6 c 1 – 6 c 2 = 12.

Dividiendo por 6:

c 1 – c 2 = 2.

¡Excelente! Dos ecuaciones y dos incógnitas:

c 1 + c 2 = 0

c 1 – c 2 = 2

Resolviendo para c 1 y c 2 :

c 1 = 1 y c 2 = -1. Así,

La solución de y se utiliza para encontrar c 3 y c 4 en la solución x .

Diferenciar la solución para x y sustituir en la ecuación (1): D x = -9 y :

Igualando los términos e 6 t :

6 c 3 = -9 o c 3 = -3/2.

Igualando los términos e -6 t :

-6 c 4 = 9 o c 4 = -3/2.

Así,

Paso 7: verifica la solución.

Si las expresiones para x e y son válidas, la sustitución en el sistema original de ecuaciones hace que estas ecuaciones sean verdaderas.

Vamos a comprobar si el sistema acoplado hipotético original se satisface con estos valores de x e y.

y

satisfacer

LHS (lado izquierdo):

simplifica a

-9e 6 t + 9e -6 t .

RHS (lado derecho): sustituya en -9 y para obtener

-9e 6 t + 9e -6 t .

¡CHEQUE!

Para la segunda ecuación,

LHS: d y / d t = 6e 6 t + 6e -6 t .

RHS: sustituir en -4 x para obtener

que simplifica a

6e 6 t + 6e -6 t .

¡CHEQUE!

Paso 8: Trace y comente la solución.

Parcela de las soluciones

Al trazar la población de kril, x , se muestra la condición inicial de x = 0 y una pendiente positiva. Esta población crece exponencialmente. La población de yaks, y , por otro lado, comienza con -3 (no estoy seguro de cómo funcionarían los yaks, con una población de -3), una pendiente de 0, y continúa disminuyendo exponencialmente. Por supuesto, esta conexión entre el yak y el krill es puramente hipotética. Los depredadores naturales de los krills son las focas, las ballenas, los pingüinos y no los yaks. Aún así, el gráfico muestra una solución que coincide con las ecuaciones y las condiciones iniciales. ¡Y eso es lo más importante!

Resumen de la lección

Una ecuación diferencial contiene derivadas. Si no hay productos de las variables dependientes y si las derivadas y las variables dependientes se elevan todas a la primera potencia, la ecuación diferencial es lineal . Con dos o más ecuaciones, es un sistema y cuando aparecen diferentes variables dependientes en la misma ecuación, el sistema está acoplado . Esto es análogo a los sistemas de ecuaciones que se encuentran en álgebra. Para resolver un sistema de ecuaciones diferenciales, tome prestado el método de eliminación del álgebra . Las derivadas como d x / d t se escriben como D x y el operador D se trata como una constante multiplicadora.

Usando la eliminación, el sistema de ecuaciones diferenciales se reduce a una ecuación diferencial en una variable. Se utilizan métodos estándar para resolver esta ecuación diferencial. La solución resultante contiene constantes desconocidas determinadas usando condiciones iniciales . El proceso de eliminar variables, resolver una ecuación diferencial y encontrar valores para las constantes, se repite hasta que se resuelven todas las variables dependientes.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador